1 Unidades, Patrones y Medidas.
1 Unidades Patrones y Medidas
Tabla de Contenidos
- 1.1 Cantidades Físicas
- 1.2 La idea del Sistema Internacional de Unidades
- 1.3 Unidades básicas
- 1.4 Los patrones de tres de las unidades básicas del SI
- 1.5 Prefijos del SI
- 1.6 Notación Científica y cifras significativas
- 1.7 Cambiando de unidades
- 1.8 Ejercicios
1.1 Cantidades Físicas
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La Física y por lo tanto también la Mecánica, se escribe en términos de cantidades y las relaciones entre ellas. Una cantidad física es una propiedad que se puede medir o calcular con base en otras mediciones. Estas cantidades se expresan con números y unidades que hacen referencia a alguno o a varios patrones. Se pretende que todos podamos conocer cuales son los patrones correspondientes para que interpretemos de manera correcta esas cantidades. Por ejemplo, la longitud es una cantidad física que se expresa con un número y sus unidades. Supongamos que en particular tenemos una longitud de 3.40 m, la unidad usada, el metro, hace referencia a un patrón que se conoce y por lo tanto podemos interpretar que tan grande o pequeña es esa distancia. Si no tenemos ni una idea de lo que es el metro, no nos será útil la cantidad pues no sabremos interpretar la información. Por otro lado, un ejemplo muy obvio de una propiedad que sería difícil expresar con números es la amabilidad, por lo tanto ésta no se trata de una cantidad física. Con frecuencia usamos símbolos para escribir cantidades físicas de manera que podamos manejarlas sin aludir un número y/o unidad en particular. Por ejemplo, el símbolo para la masa es m, podemos representar cualquier masa usando ese símbolo. |
1.2 La idea del Sistema Internacional de Unidades
En Europa, todavía en el siglo XVII, cada país e incluso cada región, tenía su propio sistema tradicional de unidades, seguramente fue ésta una de las causas más frecuentes de disputas entre mercaderes, ciudadanos y cobradores de impuestos.
En otras regiones del mundo, fuera de Europa, se tenían también sistemas de medidas propios. Mesoamérica prehispánica no era la excepción. Por ejemplo, en náhuatl, un tlamamalli correspondía a una unidad de carga, era el peso que podía llevar una persona. Un neuitzantlli se refería a la distancia entre la mano derecha y el pie izquierdo, teniendo ambas extremidades extendidas, aproximadamente dos metros y medio, un zonlte equivale a veinte veintenas, etc. En toda la región, aún que coexistieron varias culturas y se hablaban muchos idiomas, en general se prefería el sistema vigesimal. Un buen artículo con información sobre la historia de la metrología en México se puede consultar en el número 8 de la revista española de metrología:
https://cpage.mpr.gob.es/producto/e-medida-revista-espanola-de-metrologia-2/
A pesar de los regionalismos, ya habían surgido las primeras propuestas para un sistema interregional de unidades en la Europa del siglo XVII, un sistema que además fuera decimal. En Inglaterra lo sugirió John Wilkins en 1668, en Francia Gabriel Mouton en 1670, incluso Lebniz hizo su propuesta un par de años después. Los usos y costumbres no son fáciles de desplazar, la prueba es que ninguna de estas propuestas prosperó.
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La
idea de uniformar las unidades de medición se extendió de forma
exitosa al resto del mundo occidental y en 1875 se escribió un tratado
conocido como Convention du Mètre (Convención del Metro). Éste
fue firmado originalmente por diecisiete naciones y dio origen al Buró
Internacional de Pesos y Medidas que ya tiene 53 miembros. El sistema
métrico decimal ha evolucionado transformándose en el actual Sistema
Internacional de Unidades (SI). Lavoisier llegó a decir: "Nada más grande ni más sublime ha salido de las manos del hombre que el sistema métrico decimal." Lagrange
dijo a la muerte de Lavoisier: "Les tomó un instante cortarle la
cabeza, pero Francia quizá no pueda producir otra parecida ni en un
siglo." A la izquierda se muestra un retrato de Antoine-Laurent de Lavoisier.
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La gran mayoría de los países que fueron firmando la convención del metro se dieron a la tarea de implementar el uso de las unidades del sistema métrico a todos niveles en la ciencia y el comercio. Los países de la Commonwealth, el Reino Unido y sus antiguas colonias, se resistieron al cambio por muchos años aferrándose al sistema inglés. Actualmente esos países ya han firmado el tratado y se comienza a ver el cambio. La gran excepción es Estados Unidos, dicho país firmó el tratado desde 1875 pero a la fecha no ha implementado de manera oficial el SI para el comercio ni para la tecnología. En los Estados Unidos todavía se usa el sistema inglés, irónicamente ya desde 1893 la mayor parte de las unidades de ese sistema están definidas con base en los patrones del sistema métrico decimal.
Aquí cabe mencionar el caso de la sonda Mars Climate Orbiter, que era parte de una misión de la NASA. La sonda se destruyó debido a un error de navegación, el equipo de control en la Tierra hacía uso del sistema SI para calcular los parámetros de inserción y envió los datos a la nave, que realizaba los cálculos con el sistema inglés. El costo total de la misión fue de 330 millones de dólares aproximadamente. ¡Qué lamentable! ¿O no?
Ésta es una recreación artística del Mars Climate Orbiter (NASA).
1.3 Unidades básicas
Uno podría pensar que para cada unidad diferente se necesita un patrón para definirla, pero por fortuna no es necesario. Para cada sistema de unidades basta con asignarles un patrón a algunas unidades básicas, las demás se pueden definir combinando las básicas.
En el Sistema Internacional de Unidades (SI) las siete unidades básicas son:
|
Cantidad |
Símbolo de la cantidad |
Unidad |
Símbolo de la unidad |
|
Tiempo |
t |
segundo |
s |
|
Longitud |
l, x, r, etc. |
metro |
m |
|
Masa |
m |
kilogramo |
kg |
|
Corriente eléctrica |
I |
ampere |
A |
|
Temperatura |
T |
kelvin |
K |
|
Cantidad de substancia |
n |
mol |
mol |
|
Intensidad luminosa |
Iv |
candela |
cd |
Los símbolos de las cantidades se escriben con cursivas y los símbolos de las unidades se escriben con romanas. En el SI, un ejemplo de unidad compuesta es la usada para la fuerza, el newton (N). Un newton se define como N = kg m / s2 . Todas las unidades compuestas del SI se definen con base en las mostradas en la tabla anterior.
1.4 Los patrones de tres de las unidades básicas del SI
Tiempo
La unidad para el tiempo en el SI es el segundo, su símbolo es la "s", el patrón original para el segundo se basó en la duración del día. El día se divide en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos, por lo tanto el segundo sería 1/86,400 de día. La desventaja de usar ese patrón, es que el día varía de duración en el orden de millonésimas por ciento (1 x 10-6 %), que correspondería a algunos milisegundos, como se muestra en la gráfica que sigue.
Gráfica de las variaciones en la duración del día
La gráfica anterior fue tomada de http://www.iers.org/MainDisp.csl?pid=95-100 para presentarla en este sitio con fines exclusivamente educacionales.
Para el grado de desarrollo actual de la ciencia y tecnología se necesita un patrón que permita más precisión. Dada esa necesidad, desde 1967 el segundo se define como: la duración de 9,192,631,770 oscilaciones de la radiación emitida en la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo133 del átomo de cesio (133Cs), a una temperatura de 0 K.
Longitud
La unidad para la longitud en el SI es el metro, su símbolo es la "m". Inicialmente fue creado por la Academia de Ciencias Francesa en 1791 y definido como la diezmillonésima parte de la distancia que separa el polo de la línea del ecuador terrestre. Se realizaron mediciones cuidadosas y en 1889 se fabricó un metro patrón de platino e iridio que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas. Nuevamente, para la sofisticación que han alcanzado la ciencia y tecnología hoy en día, se necesita un patrón más preciso. En 1960 se adoptó un patrón atómico del metro, éste sería el equivalente a 1 650 763.73 longitudes de onda de luz característica de una transición electrónica de los átomos de kriptón 86Kr.
En 1983, las exigencias de mayor precisión habían llegado a tal punto que ni siquiera el patrón atómico podía atenderlas. En ese año se tomó una medida audaz, se redefine al metro como la longitud del trayecto recorrido por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. Esto fija la velocidad de la luz en el vacío a 299 792 458 m/s.
Masa
La unidad para la masa es el kilogramo, su símbolo es "kg". Hasta poco tiempo, exactamente hasta el 20 de mayo de 2019, se seguía definiendo con base en el viejo patrón de platino e iridio que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas de París. Se hicieron reproducciones para que los países miembros del Buró Internacional de Pesos y Medidas tengan su réplica. En México guardamos la réplica No. 21. Ahora, desde esa fecha, de manera oficial se acepta un nuevo patrón, uno basado en el funcionamiento de una balanza muy especial, la balanza de Kibble. Esta balanza puede medir con mucha precisión el peso de objetos y funciona con corriente eléctrica. La potencia eléctrica que se requiere administrar para equilibrar un objeto se relaciona directamente con peso de éste y a partir de la medida del peso del objeto se infiere su masa. Si la potencia administrada, en watts, es numéricamente equivalente a gv, que es el producto de la aceleración de la gravedad, en el lugar donde está la balanza, por la velocidad de calibración, la masa del objeto que se está pesando es exactamente un kilogramo.
La réplica No. 20 del kilogramo patrón que recientemente quedó en desuso (Buró Internacional de Pesos y Medidas).
1.5 Prefijos del SI
Para indicar múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI se usan los siguientes prefijos:
|
10n |
Prefijo |
Símbolo |
se usa desde |
|
10n |
Prefijo |
Símbolo |
se usa desde |
|
1024 |
iota |
Y |
1991 |
10−1 |
deci |
d |
1795 |
|
|
1021 |
zeta |
Z |
1991 |
10−2 |
centi |
c |
1795 |
|
|
1018 |
exa |
E |
1975 |
10−3 |
mili |
m |
1795 |
|
|
1015 |
peta |
P |
1975 |
10−6 |
micro |
µ |
1960 |
|
|
1012 |
tera |
T |
1960 |
10−9 |
nano |
n |
1960 |
|
|
109 |
giga |
G |
1960 |
10−12 |
pico |
p |
1960 |
|
|
106 |
mega |
M |
1960 |
10−15 |
femto |
f |
1964 |
|
|
103 |
kilo |
k |
1795 |
10−18 |
atto |
a |
1964 |
|
|
102 |
hecto |
h |
1795 |
10−21 |
zepto |
z |
1991 |
|
|
101 |
deca |
da |
1795 |
10−24 |
yocto |
y |
1991 |
Por ejemplo, un nanosegundo es una milmillonésima de segundo y se escribe "ns", un kilómetro son mil metros y se escribe "km".
1.6 Notación Científica y cifras significativas
El número de cifras significativas con las que se escribe una cantidad dice algo acerca de su precisión. Por ejemplo, al decir que x = 3 m se sobreentiende que estamos razonablemente seguros de que x se halla entre 2 m y 4 m. De la misma manera, el decir que x = 3.56 m implica que x debe hallarse entre 3.55 m y 3.57 m. Si nosotros sabemos que x se halla entre 3.55 m y 3.57 m pero escribimos tan solo que x = 3 m, estamos ocultando parte de la información que poseemos. Si, al contrario, nosotros decimos que x = 3.56894 m cuando solo sabemos que x se halla entre 3.55 m y 3.57 m, estamos inventando información extra que no necesariamente es correcta.
Para saber con cuantas cifras significativas reportar un resultado hay que seguir unas cuantas reglas sencillas.
Regla 1
Sin contar los ceros a la izquierda, conserva todos los dígitos hasta el primero que sea dudoso, yendo siempre de izquierda a derecha. Si sabes que x está entre 3.55 m y 3.57 m, debes reportar tres cifras significativas: x = 3.56 m. Este resultado lo puedes escribir equivalentemente de varias maneras: x = 356 cm, x = 0.00356 km, x = 3.56 × 10-3 km, etc. Lo que debes evitar es escribirlo de tal manera que parezca que tienes más información de la que realmente tienes, por ejemplo, no es correcto escribir x = 3 560 mm porque parece que estás reportando un resultado con cuatro cifras significativas en vez de tres. Si quieres reportar este resultado en milímetros, debes hacerlo usando notación científica: x = 3.56 × 103 mm.
Regla 2
Si multiplicas o divides cantidades, conserva en el resultado un número de cifras significativas no mayor al número de cifras significativas del menos preciso de los factores. No olvides redondear. Por ejemplo:
7.6 × 3.14159 = 24
Regla 3
Si sumas o restas cantidades lo importante son las cifras decimales. Deja en el resultado tantas cifras decimales como las del menos preciso de los términos. Aquí también hay que redondear. Por ejemplo:
67.1 + 0.12 + 45.123 + 0.1234 = 112.5
1.7 Cambiando de unidades
Es claro que debemos manejar los cambios de unidades sin ninguna dificultad. Hay varias formas de explicar el procedimiento, se expone a continuación la que me parece más simple con dos ejemplos. Posteriormente se agregan dos ejemplos más para sistemas no decimales.
Ejemplo 1. Supongamos que necesitamos pasar una medida de velocidad en kilómetros sobre hora v = 23.4 km/h a metros sobre segundos "m/s".
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Primero necesitamos saber cuantos metros es un kilómetro y cuántos segundos es una hora: 1 km = 1 000 m y 1 h = 3 600 s Ahora volvemos a escribir la velocidad anterior pero con las equivalencias:  Finalmente hacemos las operaciones:  Nótese que el resultado está dado con tres cifras significativas habiendo redondeado la tercera. |
Ejemplo 2. Tenemos que ahora v = 34.5 m/s y queremos escribirla en km/h.
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Primero necesitamos saber cuantos kilómetros es un metro y cuantas horas es un segundo:  
Con las equivalencias, haciendo las operaciones y redondeando a tres cifras:  |
Queda claro que los sistemas decimales no tienen gran dificultad para manejarse. Si se trata de sistemas que no son decimales hay que tener más cuidado.
Ejemplo 3. Tenemos una distancia de tres pies con cuatro pulgadas y 3/8 de pulgada, es decir:
d = 3' 4 3/8 '' ¿cómo se escribe esa distancia en metros?
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Primero necesitamos saber cuánto es un pié (ft) y cuánto una pulgada (in): 1 ft = 12 in y 1 ft = 0.3048 m Estas unidades fueron definidas de forma exacta desde 1959. Después de seguir el procedimiento explicado anteriormente podemos concluir que: (3 ' = 0.9147 m) + (4 3/8 '' = 0.111125 m) = 1.025825 m, resultado exacto que redondeando a tres cifras significativas es 1.03 m |
Ejemplo 4. Ahora queremos escribir la distancia d = 2.46 m en pies y pulgadas.
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Ya conocemos las equivalencias, así que podemos decir que:  Lo anterior escrito de manera exacta usando fracciones. Pero debemos escribirlo con fracciones impropias para saber cuantos pies enteros tenemos:  Son ocho pies y una porción fraccionaria. Falta determinar cuantas pulgadas son 9/127 pies, como una pulgada es 1/12 pies, conviene escribir la fracción de pié como factor de 1/12:  Así
el resultado se podría escribir como 2.46 m = 8 ' 108/127 '' pero no se
usan esas fracciones de pulgada en la práctica. Se usan las mitades,
los cuartos, los octavos, los dieciseisavos, los treintaidosavos y rara
vez hasta los sesentaicuatroavos. De cualquier manera, la precisión de
los 2.46 m originales llega sólo hasta a los centímetros, un centímetro
es del orden de un cuarto de pulgada. No tiene sentido romperse la
cabeza más allá de los cuartos de pulgada. Supongamos que queremos dar
el resultado hasta los cuartos de pulgada, conviene escribir 108/127
como factor de 1/4: , que está más cerca de los 3 cuartos de pulgada que
de la pulgada entera (4 cuartos). Finalmente podemos escribir:
2.46 m ≈ 8 ' 3/4 '' ¡Qué engorroso resulta trabajar con un sistema que no es decimal! |
Ejemplo 5. Las distancias astronómicas son tan grandes comparadas con las terrestres que se emplean unidades de longitud mucho mayores para facilitar la comprensión de las distancias relativas de los objetos astronómicos. Una unidad astronómica (UA) es igual a la distancia promedio de la Tierra al Sol, 1.50 x 108 km. Un parsec (pc) es la distancia a la cual 1 UA subtendería un ángulo de 1 segundo de arco. Un año-luz es la distancia que la luz cubriría en 1 año, viajando a través del vacío a una velocidad de 3.00 x 105 km/s. (a) Exprese la distancia de la Tierra al Sol en parsecs, (b) en años-luz y “minutos luz”. (c) Exprese un parsec en kilómetros. Aunque el año-luz se usa mucho en la escritura popular, el parsec es la unidad usada profesionalmente por los astrónomos.
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(a) La longitud subtendida por un ángulo de un segundo de arco (θ = 1’’) a una distancia de un parsec (1 pc) es la unidad astronómica (1 UA), como muestra la figura.  Un segundo de arco es 1/60 de un minuto de arco, que a su vez es 1/60 de un grado, de modo que θ = 1’’ = (1/3600) °. Por otro lado, una UA es la distancia promedio entre la Tierra y el Sol. El triángulo de la figura se puede dividir a su vez en dos triángulos rectángulos iguales y empleando trigonometría se puede decir que  Aquí se da el resultado con tres cifras significativas. Lo cual quiere decir que la distancia Tierra-Sol es (4.85 × 10-6) pc.
(b) Por otro lado, un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. Si la velocidad de la luz en el vacío es  en un año recorre una cantidad de kilómetros grandísima, que es el resultado de multiplicar esa velocidad por los segundos que hay en un año:  es decir que, con tres cifras significativas, un año luz son 9.46 × 1012 km. Dado que una unidad astronómica son 1.50 × 108 km, se puede concluir que  Se entiende que un “minuto luz” es la distancia que la luz recorre en un minuto, si calculamos cuantos minutos tiene un año podremos escribir la unidad astronómica en “minutos luz”. Si un año tiene 365 × 24 × 60 minutos, entonces  lo cual quiere decir que la luz del sol tarda poco más de 8 minutos en llegar hasta la Tierra.
(c) En el primer inciso se concluyó que una unidad astronómica es 1 UA = (4.85 × 10-6) pc, por lo tanto un parsec se puede escribir en términos de unidades astrónomicas de la siguiente manera: 1 pc = UA /(4.85 × 10-6) y conociendo la distancia en kilómetros a la que correspunde una UA se concluye que  |
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