2 Cinemática en una dimensión

Tabla de Contenidos

• 2.1 La definición de Mecánica
• 2.2 Cantidades físicas relevantes para la cinemática
• 2.3 Cómo se describe el movimiento en una dimensión
• 2.4 El reposo, el equilibrio y la velocidad constante
• 2.5. Ejemplos: velocidad
• 2.6. La aceleración constante
• 2.7 Ejemplos: aceleración

2.1 La definición de Mecánica

 

2.2 Cantidades físicas relevantes para la cinemática

Es preciso definir primero las cantidades que se necesitan para describir el movimiento de una partícula en una dimensión. Dichas cantidades son: posición, desplazamiento, velocidad promedio, velocidad instantánea, rapidez, aceleración promedio, aceleración instantánea y longitud de trayectoria.

 

Posición

La posición de una partícula indica su sitio respecto de un sistema de referencia. Tal sistema de referencia suele ser un eje cartesiano. Se usa tradicionalmente la "x" para representar esa cantidad, aunque a veces se usa la "y" cuando el eje se alinea con la vertical. Por ejemplo:

En la figura anterior la cruz roja indica la posición de la partícula y ella sería x = 2.3 m, cantidad dada con una precisión de dos cifras significativas. Una posición negativa indicaría que la partícula está al lado izquierdo del cero en el eje de las "x".

 
  

Desplazamiento

El desplazamiento es la diferencia entre la posición final e inicial de una partícula en un determinado intervalo de tiempo. La definición escrita en lenguaje matemático se ve así: 

Un ejemplo:

En la figura anterior la posición inicial es x_i = - 1.7 m y la final es x_f = 2.0 m, por lo tanto el desplazamiento es Δx = 3.7 m.

En otro ejemplo:

Aquí la posición inicial es x_i = 3.5 m y la final es x_f = 1.6 m, por lo tanto el desplazamiento resulta ser Δx = - 1.9 m. Se debe notar que el signo del desplazamiento indica la dirección del movimiento. El signo del desplazamiento no indica a qué lado del cero está la partícula, como en el caso de la posición.

 

Velocidad promedio

La velocidad promedio es el desplazamiento dividido entre el tiempo que le toma a la partícula llevarlo a cabo. La definición de velocidad promedio (o velocidad media) se escribe así:

Si consideramos al desplazamiento de uno de los ejemplos anteriores,  Δx = - 1.9 m, y suponemos que a la partícula le tomó 0.5 s  completarlo, su velocidad promedio sería de <v>= - 3.8 m/s. El signo de la velocidad promedio nos da la misma información que en el desplazamiento, nos dice la dirección del movimiento. Lo anterior debido a que el denominador Δt siempre es positivo, el tiempo siempre avanza, todavía no sabemos como hacerlo retroceder. Si la velocidad promedio es positiva, significa que la partícula avanzó hacia la derecha del eje de las "x", si es negativa el avance fue hacia la izquierda.

 

Velocidad instantánea

Una partícula no necesariamente sigue el mismo ritmo de movimiento durante todo el intervalo de tiempo que se le observa, puede ir a veces más rápido o más lento, incluso puede cambiar de sentido, es decir, no siempre llevar la misma velocidad. Como ejemplo podemos volver a pensar en un desplazamiento de 3.7 m, pero que la partícula cambie apreciablemente su velocidad a lo largo del viaje. 

Si a la partícula le toma 6 s hacer su recorrido, la velocidad promedio es de aproximadamente 0.62 m/s. Sin embargo, una parte considerable del tiempo la partícula no llevaba esa velocidad. A cada instante le corresponde otra velocidad. Si partimos el recorrido en varias etapas, digamos 12 etapas de medio segundo cada una, y calculamos la velocidad promedio para cada una de ellas tendríamos la siguiente tabla:

La velocidad promedio de cada una de estas etapas se parece más a la velocidad que lleva la partícula en cada instante de esa etapa, pero aún así, si se trata de un movimiento continuo, no necesariamente coincide con ella. Entre mayor sea el número de etapas en que partimos el recorrido y menor sea el intervalo de tiempo para cada una de ellas, más se van a parecer las velocidades promedio y la instantánea.

 ¿Cómo definir una velocidad para cada instante?

Pensemos que podemos partir nuestro intervalo en un número infinito de etapas, en ese caso, la velocidad promedio para cada etapa infinitesimal coincidiría con la velocidad de la partícula en ese instante.

Para poder plasmar en su gran obra, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, las bases de la mecánica, Issac Newton desarrolló una forma del Cálculo Diferencial, algo que él llamó Method of Fluxions. El Cálculo Diferencial permite trabajar matemáticamente con intervalos infinitamente pequeños, así que con el Cálculo podemos definir a la velocidad instantánea:

La expresión anterior se puede leer como sigue: La velocidad instantánea, se define como la velocidad promedio para un intervalo infinitamente pequeño de tiempo. La definición se ha expresado con la notación desarrollada por  Leibniz, no la que propuso originalmente Newton. Usualmente se usa simplemente la palabra velocidad para referirse a la velocidad instantánea. En la jerga del Cálculo, la definición también se puede leer así: La velocidad es la derivada (o cambio) de la posición en el tiempo.

 

Rapidez

La rapidez es el valor absoluto de la velocidad, indica la distancia que se cubre por unidad de tiempo, sin importar la dirección del movimiento.

 

Aceleración promedio

La aceleración promedio de una partícula es el cambio en su velocidad dividido entre el tiempo que le toma hacerlo.

Como ejemplo vamos a revisar la propaganda del Corvette, una marca de automóvil deportivo:

"El clásico deportivo estadounidense tiene un ejemplar entre los automóviles más rápidos del mercado. El Corvette Z06 con un motor de 6.2 litros V8, desarrolla 650 caballos de potencia, con lo cual obtiene una aceleración a las 60 MPH en solo 2.95 segundos, superando al brutal Dodge Viper y al exótico Lamborghini Gallardo sólo por unas décimas de segundo."

En el texto anterior dice que el Corvette puede pasar de cero a 60 MPH en 2.95 segundos ¿a qué aceleración promedio corresponde? Para poder contestar esa pregunta en unidades del sistema internacional, primero debemos expresar esas 60 MPH en metros por segundo: 60 MPH = 26.8 m/s.  Si la velocidad del auto cambia 26.8 m/s en 2.95 s, en promedio está ganando 9.09 m/s cada segundo, es decir <a> = 9.09 m/s².

¿Qué información guarda el signo de la aceleración? Vamos a visualizar otros ejemplos para poder ilustrar lo que pasa con el signo. Si una partícula se mueve en la dirección positiva del eje de las "x" (a la derecha) haciéndolo cada vez más rápido, Δv será positiva. Si se mueve en la misma dirección pero lo hace cada vez más lento, Δv resultará negativa. En el caso de que la partícula se mueva en la dirección negativa del eje de las "x" (a la izquierda),  la velocidad también es negativa y por lo tanto sucede lo opuesto; si ahora aumenta la rapidez, Δv será negativa y si frena Δv será positiva. En resumen:

  

Aceleración instantánea

La aceleración instantánea se relaciona con la aceleración promedio de la misma manera en que la velocidad instantánea lo hacecon la velocidad promedio:

La aceleración instantánea, o simplemente aceleración, se define como la aceleración promedio para un intervalo infinitamente pequeño de tiempo. De manera más simple: La aceleración es la derivada (el cambio) de la velocidad en el tiempo.

 

Longitud de trayectoria

Es la distancia total recorrida en un cierto intervalo de tiempo. No debe confundirse con el desplazamiento. Volviendo a uno de los ejemplos anteriores: 

 Aquí la posición inicial es x_i = - 1.75 m y la final es x_f = 2.0 m, por lo tanto el desplazamiento es Δx = 3.75 m; pero en realidad recorrió mayor distancia, porque retrocedió un poco y luego volvió hacia delante, la longitud total de la trayectoria fue aproximadamente s = 4.75 m. Para expresar de manera formal la definición de la longitud de trayectoria hace falta recurrir al lenguaje del Cálculo Integral:

2.3 Cómo se describe el movimiento en una dimensión

 Para describir completamente el movimiento de una partícula, en un cierto intervalo de tiempo, se necesita poder conocer su posición en cada instante de ese intervalo. Matemáticamente esto implica conocer a la posición como función del tiempo. Hay varias formas de expresar una función, las tres más comunes son:

 Tablas

Se muestran algunos valores del dominio en una columna y al lado los correspondientes valores de la variable dependiente. Tiene la desventaja de que la información  es incompleta si lo que se quiere describir es una función continua. Ejemplo: 

 

Gráficas

Sobre un plano cartesiano se traza la línea que represente la relación correcta entre el tiempo, la coordenada horizontal, y la posición, la coordenada la vertical. Tiene la desventaja de que la información que se puede extraer de una gráfica no tiene una resolución infinita y depende de la calidad de la imagen . En el ejemplo siguiente se describe con una gráfica el movimiento que sigue el pequeño círculo rojo, hay que tomar en cuenta que la animación está hecha a escala, el eje vertical representa una distancia de 250 m.

Fórmula

Una fórmula matemática, en muchos casos, puede efectivamente expresar la regla de correspondencia entre el tiempo y la posición. Sin embargo, no todo movimiento se puede expresar analíticamente con una fórmula. Ejemplo:

  x(t) = A + Bt + Ct²

 en donde x representa a la posición, t al tiempo, A, B, y C son constantes con sus correspondientes unidades.

A continuación se describirán los tipos más simples de movimiento para una partícula que se mueve en una dimensión, tratando de emplear y sacarle provecho a las tres formas descritas en los párrafos anteriores.

 

2.4 El reposo, el equilibrio y la velocidad constante

Reposo en equilibrio.

El caso más sencillo del movimiento de una partícula en una dimensión es el reposo en equilibrio, es decir, que la partícula se queda en la misma posición durante toda la observación. La palabra reposo se refiere a que la velocidad es cero y la palabra equilibrio se refiere a que la aceleración también lo es, su velocidad no cambia y la partícula simplemente se queda quieta. Describamos este tipo de movimiento gráfica  y analíticamente, su aceleración, velocidad y posición como función del tiempo.

Aquí tenemos las tres gráficas y las tres fórmulas, las graficas son todas líneas rectas horizontales.

 

Velocidad constante.

El caso de velocidad constante sigue siendo simple y es de gran importancia. Si su velocidad es constante, una partícula avanza siempre la misma distancia en intervalos iguales de tiempo. Describamos este tipo de movimiento gráfica  y analíticamente, suponiendo un caso en particular: sea una partícula que al tiempo t_i = 0.0 s  esté en una posición x_i = - 1.5 m y que  esté avanzando a razón de 2.5 m/s en la dirección positiva del eje x, sea que nuestra observación de la partícula en esas condiciones dure 10 s.

Las gráficas de la aceleración y la velocidad son líneas rectas horizontales, son funciones constantes del tiempo. Lo nuevo es que la gráfica de la posición contra el tiempo tiene una pendiente distinta de cero, está inclinada. Para poder trazar esa línea lo que se hizo es tabular varios puntos, mínimo se requieren tres, pero se pueden emplear más.

Dado que la partícula avanza 2.5 metros cada segundo, la recta correspondiente debe tener una pendiente de 2.5 m/s, que es precisamente el valor de la velocidad. La recta no comienza desde el origen porque al tiempo t_i = 0.0 s la partícula está en  x_i = - 1.5 m y por lo tanto ésta debe ser la ordenada al origen. En resumen la ecuación de la posición como función del tiempo debe ser x(t) = [-1.5 m] + [2.5 m/s] t  para este caso en particular, pero en general es x(t) = x_i + v t    para cualquier posición inicial x_i  y cualquier velocidad v.

 

2.5 Ejemplos: velocidad

Ejemplo 1. Observe la figura siguiente, es la gráfica de la posición contra el tiempo de un automóvil, como sólo nos interesa el movimiento de translación del automóvil podemos considerarlo como una partícula. Con base en las definiciones de las cantidades importantes para la cinemática, (a) encuentre la velocidad promedio para ese intervalo de tiempo ilustrado. (b) ¿Se puede calcular también la rapidez promedio?

Figura tomada del R. A. Serway, J. W. Jewett, “Física para Ciencias e Ingeniería”, Ed. Thomson, sexta edición, 2005, con fines educativos.

(a) Dado que la velocidad promedio está definida como la razón del desplazamiento entre el tiempo que le toma llevarlo a cabo <v> = Δx/Δt, es conveniente conocer las posiciones inicial y final así como el Interval de tiempo. Estas cantidades se pueden inferir con bastante precisión de la figura: xi = 30 m, xf  = -53 m y Δt = 50 s. Finalmente podemos decir que la velocidad promedio es <v> = -1.66 m/s. (b) La rapidez promedio se puede calcular dividiendo la longitud de trayectoria entre el tiempo. Podemos encontrar la longitud de trayectoria si notamos que el movimiento del auto se puede dividir en dos etapas, una primera en la que se mueve hacia adelante, que dura diez segundos y una segunda en la que el auto se mueve hacia atrás, durando lo que resta del tiempo. La distancia recorrida en la primera etapa, de A a B, es aproximadamente de  22 m y en la segunda etapa es de 105 m, para un total de 127 m, que dividida entre el tiempo da 2.54 m/s.

Ejemplo 2. Una persona trota del punto A al B sobre un camino recto con una velocidad constante aproximada de v₁ = 5.00 m/s. Inmediatamente después se regresa al punto A, caminando sobre la misma línea, pero ahora lo hace con una velocidad de v₂ = - 2.00 m/s. (a) ¿Cuál es la rapidez promedio de todo el viaje? (b) ¿Cuál es la velocidad promedio de todo el viaje?

(a) La rapidez promedio es la longitud de trayectoria sobre el tiempo, pero esta vez no sabemos cuál es la longitud de trayectoria. Sea cual fuere, llamemos “L” a la distancia entre los puntos A y B, así la distancia total recorrida en el viaje es 2L. Para poder dividir 2L entre el tiempo total hay que calcular cuanto tiempo tardó en cada etapa. En la primera etapa el tiempo se puede calcular así: t₁ = L/|v₁| y de manera similar, en la segunda etapa así: t₂ = L/|v₂|. El tiempo total del viaje es pues

La división de la distancia total entre el tiempo total es entonces:

Dos cosas sorprenden, el resultado no es exactamente el promedio aritmético entre 5 y 2, además no hubo necesidad de conocer el valor numérico de L para llevar a cabo el cálculo, es decir, el resultado es válido para cualquier valor de L.

(b) En cuanto a la velocidad promedio, la respuesta es sencilla, como la posición inicial y la final son iguales, <v> = 0.

 

2.6 La aceleración constante

Si una  partícula se mueve con aceleración constante y distinta de cero, implica que al pasar el tiempo su velocidad está cambiando, pero además ese cambio es constante, cada segundo que pasa su velocidad cambia exactamente de la misma manera. Por ejemplo, si la aceleración de una partícula que se mueve en una dimensión es a = 2.5 m/s² significa que cada segundo que pasa su velocidad aumenta en 2.5 m/s. Supongamos además que al tiempo  t_i = 0.0 s  esta partícula lleva una velocidad v_i = - 4.5 m/s  y tiene una posición  x_i =  5.0 m. A la velocidad y la posición que la partícula tiene al tiempo  t_i = 0.0 s les llamaremos condiciones iniciales. Se muestra una animación representando ese movimiento.

                     

x (m)

 

Ahora describamos el movimiento gráfica y analíticamente. El comportamiento de la aceleración sigue siendo muy simple ya que es una función constante y su gráfica es la de una línea recta horizontal. La velocidad es la que ahora aumenta de forma constante, comienza en cierto valor  v_i  y cada segundo se suma una cantidad que coincide numéricamente con la aceleración.

Hay que notar que nuestra partícula, la del ejemplo, comienza yendo hacia atrás luego se detiene por un instante y retoma su camino hacia adelante. La duda ahora es ¿cómo varía la posición al pasar el tempo si la velocidad siempre está cambiando?

Hay forma de encontrar la respuesta incluso si no se desea involucrar explícitamente el cálculo diferencial. El truco consiste en emplear el concepto de velocidad promedio, que en el caso de la aceleración constante convenientemente coincide con el promedio aritmético entre la velocidad inicial y la final. Imaginemos  que queremos sacar el promedio de cuatro calificaciones, siendo éstas números consecutivos: 6, 7, 8 y 9, el promedio de las cuatro calificaciones es el mismo que el promedio entre la más baja y la más alta. (notemos que esto no sería válido si el conjunto de calificaciones fuera, por ejemplo 6, 8, 8.5 y 9). Así mismo la velocidad promedio, si sabemos con certeza que se trata de un movimiento con aceleración constante,  no es mas que el promedio entre la inicial y la final <v> = ½ (v_i + v_f). Si además recordamos que la definición de la velocidad promedio es <v> = Δx/Δt  y  empleamos la ecuación II reescribiéndola como  v_f = v_i + a t_f , podemos combinar las tres expresiones llevando a cabo las siguientes operaciones:

• Igualando las dos fórmulas para la velocidad promedio

•  Substituyendo la velocidad final según la ecuación II

• Simplificando y tomando en cuenta que la delta griega representa la diferencia entre las cantidades inicial y final

• Substituyendo t_i = 0  y despejando x_f

• Como t_f  puede ser cualquiera en el intervalo de tiempo que estamos observando, puede ser considerada como variable independiente

                                        

Esta última ecuación, la posición como función del tiempo, es una función cuadrática y su gráfica es la de una parábola. Las ecuaciones II y III también son consistentes a la luz del cálculo diferencial, pues si la aceleración es la derivada temporal de la velocidad y ésta a su vez es la derivada de la posición, la posición debe ser una función cuadrática del tiempo para que su segunda derivada (la aceleración) sea una constante.

La caída Libre. La llamada caída libre y/o tiro vertical es un movimiento de aceleración constante. Si logramos evitar la resistencia del aire y cualquier otra interacción que no sea la gravedad, todos los objetos que dejemos caer lo harán con la misma aceleración. La aceleración será de aproximadamente a =  – 9.8 m/s² en la dirección vertical. A la cantidad positiva 9.8 m/s², con todo y sus unidades,  se le suele abreviar como “g”, de tal modo que podemos escribir la aceleración de la caída libre a =  – g en la dirección vertical. En realidad todo esto es sólo aproximadamente cierto, pues la aceleración de la gravedad sí depende de la distancia al centro de la Tierra, es decir, varia ligeramente con la altura sobre el nivel del mar,  con la latitud del lugar donde nos encontramos y otros detalles. Así, por ejemplo, en la Ciudad de México el valor de g_CDMX con tres cifras significativas es  9.78 m/s² , en cambio para la ciudad de Helsinki es g_Helsinki = 9.82 m/s² .

La muy sonada leyenda (no sabemos con certeza que porcentaje de la historia es válida) de cómo se descubrió que todos los objetos caen con la misma aceleración es la siguiente: Entre 1589 y 1592 Galileo Galilei se trepó a la parte alta de la torre de pisa y dejó caer simultáneamente dos objetos de distinto peso, que partiendo del reposo llegaron al mismo tiempo al piso. El GIF animado que se presenta aquí fue tomado de la siguiente liga . Dadas las velocidades que se alcanzan en estas caídas es poco probable que Galileo hubiera podido extraer mucha información de este experimento, la mayoría de las observaciones que hizo de objetos cayendo en realidad eran objetos rodando cuesta abajo sobre planos inclinados, de modo que las rapideces alcanzadas fueran lo suficientemente pequeñas para poder medir los intervalos de tiempo con relojes de agua o su propio pulso. 

Un video ilustrativo que compara el movimiento de velocidad constante con el movimiento de aceleración constante. Es del Instituto Tecnológico de Santo Domingo.

https://www.youtube.com/watch?v=XCCGzV3n6aM

 

2.7 Ejemplos: aceleración

 

Ejemplo 1. Observe la figura siguiente.

 

Figura tomada del R. Resnick, D. Halliday, K. Krane, “Física, Parte 1”, Ed. Compañía Editorial Continental, cuarta edición, 1998, con fines educativos.

¿Qué distancia recorre en 16 s  el corredor cuya gráfica velocidad-tiempo se muestra en la figura?

De la gráfica se ve que el movimiento se puede dividir en cuatro etapas distintas: Primera. El intervalo 0 < t < 2 s, de aceleración constante, en que el corredor acelera del reposo hasta alcanzar una velocidad de 8 m/s en sólo dos segundos. La aceleración en esta etapa se puede encontrar empleando la ecuación II de la sección 2.6, a = (vf  - vi) / t, de modo que a = 4 m/s2. La velocidad inicial es el reposo. Con todos estos datos inferidos de la gráfica, podemos emplear ahora la ecuación III y calcular el desplazamiento de esta etapa Δx = vi t + ½ at2, que resulta ser 8 m. Segunda. El intervalo 2 < t < 10 s, en que mantiene una velocidad constante de 8 m/s y que dura 8 s. Como aquí la velocidad no varía, es muy sencillo calcular el desplazamiento, con la ecuación I de la sección 2.4, Δx = v t, es decir  64 m. Tercera. El intervalo 10 < t < 12 s, de aceleración constante en que el corredor disminuye su velocidad de 8 m/s hasta 4 m/s en 2 s. Llevando a cabo los cálculos de manera parecida a la segunda etapa nos damos cuenta de que la aceleración es negativa a = - 2 m/s2. Con una velocidad inicial de 8 m/s se calcula un desplazamiento de 12 m. Cuarta. El intervalo 12 < t < 16 s, en que vuelve a mantener una velocidad constante, pero ahora de 4 m/s y por un tiempo de 4 s, lo que permite calcular un avance de 16 m. Sumando el desplazamiento de las cuatro etapas se tiene un avance final de 100 m.

 

Ejemplo 2. Una partícula se mueve a lo largo del eje x según la ecuación x(t) = [50 m/s] t + [10 m/s²] t². Calcule (a) la velocidad promedio de la partícula durante los primeros 3 s del movimiento, (b) la velocidad instantánea de la partícula en t = 3 s, y (c) la aceleración instantánea de la partícula en t = 3 s.

(a) La velocidad promedio es el desplazamiento dividido entre el tiempo que le toma llevarlo a cabo. para hacer esta división se necesitan encontrar las posiciones en los tiempos ti = 0  y  tf =  3 s, para ello hay que substituir a t por esos valores en la ecuación. Se encuentra así que xi = 0  y  xf = 240 m, ahora la división mencionada arroja un resultado de 80 m/s. (b) Para encontrar la velocidad a cualquier tiempo conviene identificar los coeficientes de la ecuación dada con la aceleración, la velocidad inicial y la posición inicial. La ecuación III es de modo que el coeficiente del término cuadrático es la mitad de la aceleración, el coeficiente del término lineal es la velocidad inicial y el término constante es la posición inicial. Comparando esto con x(t) = [50 m/s] t + [10 m/s2] t2  podemos inferir que a = 20 m/s2, vi = 50 m/s  y xi = 0. Ahora empleando la ecuación II podemos escribir v(t) = [50 m/s] + [20 m/s2] t si sustituimos ahora el tiempo que nos interesa t = 3 s, obtenemos una velocidad 110 m/s. (c) La aceleración es constante y ya fue identificada como a = 20 m/s2.

 

Ejemplo 3. Un Jumbo (tipo de avión grandote) de propulsión a chorro necesita alcanzar una velocidad de 360 km/h sobre la pista para despegar. Suponiendo una aceleración constante y una pista de 1.8 km de longitud, ¿qué aceleración mínima se requiere partiendo del reposo?

Emplear solamente la ecuación  III no nos sacará de apuros, pues necesitaríamos conocer el tiempo que tarda,  además de las cantidades que sí conocemos: la velocidad inicial y  la distancia que recorre, para poder despejar y calcular numéricamente la aceleración. Sin embargo, si conocemos la velocidad final, podemos echar mano de la ecuación II también. Poniendo ambas ecuaciones a la vista se tiene el reto ahora es resolver ese par de ecuaciones para las dos incógnitas: el tiempo y la aceleración. Elevando al cuadrado la primera queda  v2 = vi2 + 2 vi at + a2t2   y luego dividiéndola entre 2a se tiene finalmente restando a ambos lados el primer término de la derecha deja el lado derecho de esta ecuación es idéntico a los dos últimos términos de la ecuación III, substituyendo ahora el lado izquierdo en la ecuación III se obtiene Esta última ecuación permite despejar la aceleración sin conocer el tiempo que dura el movimiento y es equivalente a la más conocida fórmula Ahora queda substituir los valores numéricos de las cantidades conocidas, la velocidad inicial, el desplazamiento (hay que convertirlo primero a metros) y la velocidad final (hay que convertirla primero a m/s)  para obtener  a = 2.78 m/s2. Si el avión no puede imprimir esa aceleración o una mayor, no despegará antes de que se acabe la pista.

 

Ejemplo 4. Al salir de su domicilio, una estudiante lanza las llaves con las que cerró la puerta a la mano de su familiar. Lanza el llavero verticalmente hacia arriba a la mano que las recibirá y que está a 4.00 m más de altura. Las llaves son atrapadas 1.50 s después de ser lanzadas. (a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del lanzamiento? (b) ¿Cuál fue la velocidad el instante anterior a ser atrapadas? (c) ¿Fueron las llaves atrapadas al ir subiendo o cuando ya iban de bajada? (d) ¿Cuál es la altura máxima del lanzamiento?

(a) De la ecuación III podemos despejar la velocidad inicial, ya que conocemos las otras cantidades: el desplazamiento, el tiempo y la aceleración a = - 9.8 m/s2. substituyendo los valores numéricos resulta que vi = 10.0 m/s. (b) La velocidad final se puede ahora calcular de la ecuación II y substituyendo los valores numéricos queda que vf  = - 4.70 m/s. (c) Dado el signo de la velocidad final podemos inferir que ya iban bajando las llaves cuando fueron cachadas. (d) Para encontrar la altura máxima conviene emplear la fórmula IV, ya que al alcanzar la altura máxima las llaves están en reposo momentáneo, es decir, tienen una velocidad nula en ese instante. Despejando el desplazamiento y substituyendo los valores resulta  Δymax = 5.10 m. El anterior resultado nos dice que las llaves subieron 40 cm por arriba de donde estaba la mano esperando para cacharlas.

 

Ejemplo 5. (a) Cuanto tiempo exactamente debería esperar el familiar que atrapa las llaves del ejemplo pasado para atraparlas cuando éstas van subiendo, seguro que el tiempo necesario es menor a 1.5 s, ¿pero cuánto? (b) ¿Cuál su velocidad justo antes de ser atrapadas de esta manera?

(a) La ecuación III permite despejar el tiempo en función de las otras cantidades sólo si nos percatamos de que es una ecuación cuadrática. Aplicando la fórmula general para resolver cuadráticas a la ecuación III queda lo cual lleva a dos resultados distintos uno de ellos es t1 = 0.55 s y el otro t2 = 1.50 s, el primero es el tiempo que tardan las llaves en llegar por primera vez a una altura de cuatro metros y el segundo es el tiempo que tardan en llegar a esa altura una segunda vez, el que ya conocíamos del ejemplo anterior. (b) Con el nuevo tiempo y la ecuación II se puede calcular la velocidad final vf  =  4.70 m/s.

 

Ejemplo 6. Un corredor en una carrera de 100 m registra un tiempo de 12.2 s. Acelera desde el reposo, aplicando una aceleración de 2.80 m/s2, hasta que alcanza una velocidad v_max y continúa con esa velocidad hasta cruzar la meta. (a) ¿Cuánto tiempo duró la fase de aceleración? (b) ¿ Qué distancia recorrió durante esa fase? (c) ¿Cuál es el valor de v_max?

Aquí se combinan dos tipos de movimiento, uno de aceleración constante y otro de velocidad constante. Sea D = 100 m y T = 12.2 s, para poder manejar solamente símbolos en las ecuaciones. Escribamos las ecuaciones para ambos, para la etapa de aceleración constante son las ecuaciones II y III,  para la de velocidad constante es la ecuación I.

Las cantidades resaltadas son incógnitas: Δx_a, Δx_v, t_a, t_v y v_max. Son cinco incógnitas, pero también tenemos cinco ecuaciones independientes. De aquí en adelante resolver este problema es un ejercicio de matemáticas, se trata de resolver un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas. Si despejamos Δx_v, y t_v , de las ecuaciones que están abajo y luego substituimos esto en la de arriba a la derecha, logramos reducir el problema a uno de tres incógnitas y tres ecuaciones.

Aquí quedan como incógnitas Δx_a, t_a, y v_max. Substituyendo las dos ecuaciones de la izquierda en la de la derecha nos queda una sola ecuación con una sola incógnita

que reordenando términos queda

Ahora sólo queda resolver la cuadrática para encontrar el tiempo que dura la primera etapa

pero hay dos soluciones t_a1 = 21.0 s y t_a2 = 3.40 s, claramente la solución que buscamos es la segunda. Ahora que conocemos el tiempo que dura la primera etapa, substituimos ese tiempo en las dos ecuaciones de la izquierda en los cuadros anteriores para obtener la distancia Δx_a = 16.2 m y velocidad final v_max = 9.52 m/s.