3 Cantidades Vectoriales

Tabla de Contenidos

3.1 Vectores
3.2 Cartesianas y polares
3.3 Suma y resta
3.4 Multiplicación por un escalar
3.5 Vectores unitarios
3.6 Ejemplos

3.1 Vectores

Para representar la posición de una partícula en una dimensión sólo hace falta un número, con tantas cifras significativas como hayamos decidido que es conveniente, y sus unidades. Por ejemplo, con decir que la posición de una partícula en el eje x es de 3.0 m no queda duda de donde está. Sin embargo, en dos dimensiones no basta con esa información, para ubicar a una partícula en un plano necesitamos más datos.

Para poder ubicar la partícula de la figura, además de indicar x = 3.0 m necesitamos agregar y = 4.0 m, con ello dejamos claro cuál es la posición de la partícula en coordenadas cartesianas. También podemos indicar la distancia al origen 5.0 m y la orientación de la línea recta entre el origen y la partícula 53.1° , así determinamos la posición en coordenadas polares. De cualquier manera, en dos dimensiones, son dos números y sus unidades, no basta con sólo uno. Estas cantidades en las que se necesita más de un número para determinarlas y que se comportan como las posiciones o los desplazamientos espaciales se llaman vectores.

A los vectores frecuentemente se les representa con flechas y siempre se les puede asignar una magnitud (longitud o tamaño) y una dirección. Para representar en pizarrones, pantallas planas, cuadernos etc. se acostumbran, por conveniencia, los vectores en dos dimensiones, pero los puede haber de tres y más dimensiones. Se necesitan tantos números para determinar un vector como las dimensiones que se le asignen. A continuación se presenta una figura con una flecha representando un vector en dos dimensiones de magnitud r = 5.0 m y dirección θ = 53.1°, o bien componentes cartesianas 3.0 m y 4.0 m.

El lugar del plano en que se dibuje el vector no lo caracteriza, lo importante es su tamaño y su dirección. En la figura se muestran varios vectores y todos son iguales. Para denotar cantidades vectoriales se emplearán aquí las “negritas”. A aquellas cantidades que sólo requieren de un número con sus unidades les llamaremos escalares y se denotarán con cursivas.

El mejor ejemplo de una cantidad vectorial es el vector de la posición de una partícula, éste es el que parte del origen y apunta a donde está dicha partícula. Otro buen ejemplo es el desplazamiento, este vector comienza en el punto de donde partió la partícula y termina en el punto a donde llega, después de moverse por un cierto intervalo de tiempo. A continuación se representa el movimiento de una partícula, los vectores de su posición, para distintos instantes, están en color azul y el vector de desplazamiento, para ese intervalo de tiempo, en rojo.

3.2 Cartesianas y polares

Para determinar un vector en dos dimensiones se requieren dos números y sus unidades, hay muchos formatos para registrar esos datos. Lo más común es emplear las coordenadas cartesianas o las polares. Determinar un vector bidimensional en coordenadas cartesianas implica dar su componentes x y y, en coordenadas polares se requiere dar su magnitud y dirección. La dirección, en este sistema coordenado, es el ángulo que hace el vector con el eje x, medido en sentido antihorario. Este ángulo también se puede medir en sentido horario, pero entonces se toma como negativo, por ejemplo, la dirección es la misma si θ = 120° o θ = -240°.

Para transformar los datos de un sistema coordenado a otro es necesario el uso de la trigonometría y tener ciertas precauciones con el uso de tablas, calculadoras, computadoras y similares.

De polares a cartesianas. Si tenemos inicialmente los datos en polares y deseamos conocer las coordenadas cartesianas correspondientes conviene notar que las componentes y el vector forman un triángulo rectángulo.

y por lo tanto: x = r cos θ y y = r sen θ .

La figura anterior muestra lo que ocurre en el primer cuadrante, sin embargo, debido a las convenciones, las dos fórmulas anteriores funcionan para los cuatro cuadrantes incluyendo los signos correctos de las componentes.

De cartesianas a polares. Los catetos de nuestro triángulo son x y y, de modo que si sumamos sus cuadrados estaremos hallando el cuadrado de la magnitud del vector, a consecuencia del teorema de Pitágoras: x² + y² = r². Para hallar la dirección podemos escoger cualquier función trigonométrica, por costumbre se prefiere a la tangente:

tan θ = y / x.

Para recuperar el ángulo correcto hay un inconveniente y es consecuencia de que la función tangente no es biunívoca. Hay un sinfín de ángulos que tiene la misma tangente, por ejemplo, dada una tangente igual a la unidad: tan θ = 1, algunos de los ángulos que cumplen con esta condición son: -315°, -135°, 45° y 225°. Para ver esto más claramente, a continuación se presenta una gráfica de la función tangente.

¿Cómo sabremos cuál es el correcto? Lo que sí queda claro es que todos los ángulos que comparten una misma tangente están separados por 180° exactamente y en un rango de 360° siempre habrá dos posibilidades. Las calculadoras y otras aplicaciones similares arrojan un resultado solamente, tienen configurada la función arco tangente (tan^-1) para dar el resultado en un rango de -90° a 90°. Con el resultado que nos de la calculadora y lo que ya sabemos de la función tangente debemos de poder hallar el ángulo correcto.

Probemos con un ejemplo concreto en el segundo cuadrante, sea r un vector con componentes x = -3.0 m y y = 4.0 m, dado que la componente x es negativa y la y es positiva sabemos que este vector se encuentra en el segundo cuadrante y que por lo tanto su dirección debe ser un ángulo θ tal que 90° < θ < 180°. Si usamos la calculadora y le introducimos tan^-1 (4/-3) el resultado que nos da es -53.1°, que no corresponde al segundo cuadrante, pero si se le suma 180°, para encontrar el siguiente ángulo cuya tangente es la misma, se obtiene 126.9° que ahora sí corresponde al cuadrante correcto.

En el caso del tercer cuadrante ocurre algo similar. Sea ahora r un vector con componentes x = -3.0 m y y = -4.0 m, dado que las dos componentes son negativas sabemos que este vector se encuentra en el tercer cuadrante y que por lo tanto su dirección debe ser un ángulo θ tal que 180° < θ < 270°. Si usamos la calculadora y le introducimos tan^-1 (-4/-3) el resultado que nos da es 53.1°, que no corresponde al ese cuadrante, pero si se le suma 180°, para encontrar el siguiente ángulo cuya tangente es la misma, se obtiene 233.1° que ahora sí corresponde al cuadrante correcto.

Para concluir con un ejemplo en el cuarto cuadrante, sea r un vector con componentes x = 3.0 m y y = -4.0 m, dado que la componente x es positiva y la y es negativa sabemos que este vector se encuentra en el cuarto cuadrante y que por lo tanto su dirección debe ser un ángulo θ tal que 270° < θ < 360°, pero esto es equivalente a decir -90° < θ < 0°. Si usamos la calculadora y le introducimos tan^-1 (-4/3) el resultado que nos da es -53.1°, que ahora sí corresponde a ese cuadrante, aunque nos ha dado ésta vez el resultado con un ángulo negativo.

3.3 Suma y resta

La forma en que se define la suma vectorial se inspira en lo que pasa con los desplazamientos. Si un objeto comienza a moverse desde un punto del espacio a otro y luego de éste a un tercero, el desplazamiento resultante se construye desde el punto de partida al de la posición final. La figura siguiente muestra gráficamente la suma de dos vectores a + b = c, primero poniendo uno a continuación del otro y luego colocando la cola de los dos vectores en el mismo punto, de una forma u otra el resultado es el mismo, c en los dos casos tiene la misma magnitud y dirección.

Completar el paralelogramo para poder trazar el vector resultante, es a lo que se conoce como el “método del paralelogramo” para sumar vectores de manera gráfica.

También se pueden sumar vectores analíticamente, si sólo tenemos que sumar dos vectores, la llamada “ley de cosenos” rápidamente nos permite encontrar la magnitud del vector resultante.

Para denotar la magnitud de un vector aquí se usa la letra que nombra a ese vector, pero en cursiva, el ángulo θ_ab es el que separa a los dos vectores a y b. Para hallar la dirección de c se puede echar mano de la llamada “ley de senos” y resulta un tanto engorrosa. Además, este procedimiento se vuelve muy inconveniente si queremos sumar más de dos vectores. Para sumar vectores analíticamente se prefieren las coordenadas cartesianas. En la figura siguiente se muestra como se relacionan las componentes cartesianas de los vectores que se han de sumar y las del vector resultante. Las componentes de un vector se denotan aquí con la letra del vector correspondiente en cursiva y el subíndice que indica de cual componente se trata, por ejemplo c_x se refiere a la componente x del vector c.

Claramente c_x = a_x + b_x y c_y = a_y + b_y , es decir, la componente del vector resultante es la suma de las componentes de los vectores sumados. Si hay más de dos vectores que se deben sumar e incluso si se trata de vectores en tres dimensiones, este procedimiento sigue siendo válido:

si c = ∑_i a_i , entonces

c_x = ∑_i a_ix , c_y = ∑_i a_iy y c_z = ∑_i a_iz .

La resta de vectores se puede entender como una suma si se introduce el concepto de inverso aditivo. El inverso aditivo de un número es aquel que sumado a ese número original produce un cero. Lo mismo se puede definir para las cantidades vectoriales, el inverso aditivo de un vector es aquel que sumado al original resulta en un vector nulo, es decir, un cero. En la siguiente figura se muestra cómo se ve un inverso aditivo.

Con lo que ahora sabemos de la suma de vectores, claramente podemos ver que a + (-a) = 0. pero ¿Cómo se ve una resta de vectores gráficamente?

Colocando los vectores que se suman o restan cola con cola, la diferencia entre suma y resta se ve así: el “vector suma” es la diagonal del paralelogramo y el “vector resta” cierra el triángulo. De aquí podemos inferir que analíticamente, en coordenadas cartesianas d_x = a_x - b_x y d_y = a_y - b_y , es decir, la componente del “vector resta” es la resta de las componentes de los vectores que se substraen.

3.4 Multiplicación por un escalar

Los vectores pueden ser multiplicados por escalares, si el escalar es positivo lo que hace la multiplicación es cambiar el tamaño del vector, pero no su dirección.

Por ejemplo, 3 a es un vector que tiene tres veces el tamaño del vector a y a/3 es un vector que mide la tercera parte de a. Si el escalar que multiplica al vector es negativo, entonces la multiplicación también invierte la dirección del vector, por ejemplo -2 a es un vector que tiene la misma dirección que el inverso aditivo de a y es dos veces más grande.

La multiplicación por un escalar permite escribir a todos los vectores que tienen la misma dirección como múltiplos de uno sólo, por ejemplo, sea î un vector de magnitud unitaria que apunte en la dirección del eje x, todos los vectores que apunten en esa dirección o la contraria se pueden escribir como c î , donde c es una constante escalar que pertenece a los números reales. Lo mismo pasa con la dirección y, sea ĵ el vector unitario en esa dirección, todos los vectores que apunten en esa dirección o la contraria se pueden escribir como c ĵ .

3.5 Vectores unitarios

Todo vector, en el plano de dos dimensiones, puede escribirse como la suma de otros dos vectores que no sean paralelos entre sí, multiplicada por un escalar. Si esos dos vectores se escogen tal que sean ambos unitarios, perpendiculares entre sí y mejor aún, cada uno en la dirección de uno de los ejes cartesianos x y y, se tiene un "base" para escribir a todos los vectores en el plano. Por ejemplo, si se tiene un vector a de magnitud 5.0 unidades en la dirección 53.1°, éste se puede escribir como la suma de 3 î + 4 ĵ , como se ve en la figura.

Así simplemente las magnitudes de los dos vectores que se suman coinciden con las componentes cartesianas del vector a, de modo que a = 3 î + 4 ĵ . Los vectores unitarios proveen de una elegante y útil notación para escribir a los vectores en coordenadas cartesianas (¡y también otros tipos de coordenadas!).

Si queremos extendernos a tres dimensiones podemos emplear también al vector unitario k que va en la dirección del eje z, así todos los vectores en el espacio real se pueden escribir como

a = a_x î +a_y ĵ + a_z k

donde a_x, a_y y a_z son escalares reales.

3.6 Ejemplos

Ejemplo 1. Al explorar una cueva, una espeleóloga inicia en la entrada y recorre los siguientes trayectos. Avanza 75.0 m al norte, 250 m al este, 125 m a un ángulo de 30.0 al norte del este y finalmente 150 m al sur. Encuentre el desplazamiento resultante desde la entrada de la cueva.

Un esquema del recorrido se presenta en la figura, junto con una foto de la cueva, en el esquema se presenta como referencia la Rosa de los Vientos.

Si alineamos el eje y con la dirección norte y el eje x con el este, podremos trabajar en cartesianas. Siendo así, los desplazamientos vectoriales son:

a = (0.0 m) î +(75.0 m) ĵ

b = (250.0 m) î +(0.0 m) ĵ

c = (108.3 m) î +(62.5 m) ĵ

d = (0.0 m) î +(-150.0 m) ĵ

donde las componentes del desplazamiento c se obtuvieron empleando las fórmulas x = r cos θ y y = r sen θ. La suma de todos los desplazamientos es:

R = (358.3 m) î - (12.5 m) ĵ .

Ahora debemos entregar el resultado en el mismo formato en que se dieron los datos del problema. Debemos dar el tamaño del vector y su dirección respecto de algún punto cardinal. La magnitud del vector se obtiene de la fórmula r² = x² + y² y la dirección con tan θ = y / x :

El desplazamiento resultante es R = 358.5 m en una dirección θ_R = 2.00° al sur del este.

Ejemplo 2. Sean los vectores:

A = 7 î - 2 ĵ

B = 3 î + ĵ - k

Encontrar los vectores: (a) A + B, (b) 2A - B, (c) 3B - ½ A, y (d) ¼ (B - A) .

(a) A + B = (7 + 3) î + (-2 + 1) ĵ - k = 10 î - ĵ - k

(b) 2A - B = (2 x 7 - 3) î + (2 x -2 - 1) ĵ + k = 11 î - 5 ĵ + k

(d) ¼ (B - A) = ¼ (3 - 7) î + ¼ (1 + 2) ĵ - ¼ k = - î + ³/₄ĵ - ¼ k

Ejemplo 3. Encontrar las magnitudes y direcciones de los vectores:

(a) A = 7 î - 2 ĵ , (b) B = - î - ³/₄ĵ , (c) C = - î + 10 ĵ .

(a) Magnitud 7.28, dirección -15.9° o bien 344.1°.

(b) Magnitud 1.25, dirección 216.9°.

Ejemplo 4. Un hombre lleva un trapeador por el piso y hace que éste siga dos desplazamientos consecutivos. Un primer desplazamiento tiene una magnitud de 150 cm y forma un ángulo de 120° con el eje x. El desplazamiento resultante tiene una magnitud de 140 cm y está dirigido a un ángulo de 35.0° respecto al eje x . Encuentre la magnitud y dirección del segundo desplazamiento.

Se trata de una resta de vectores, de la figura claramente se puede ver que:

primero + segundo = resultante

por lo que

segundo = resultante - primero.

Llevando a cabo la resta queda, para el segundo desplazamiento:

componente x: 115 cm - (-75 cm) = 190 cm

componente y: 80 cm - 130 cm = -50 cm

Tomando estas componentes cartesianas podremos encontrar la magnitud y dirección de ese segundo desplazamiento. La magnitud es de 196 cm y su dirección, el ángulo que hace con el eje x es 345° o bien -15°.

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