4 Cinemática en dos y más dimensiones

Tabla de Contenidos

• 4.1 Cantidades físicas relevantes para la cinemática
• 4.2 Ejemplos de movimiento en dos y más dimensiones
• 4.3 Tiro parabólico y ejemplos
• 4.4 Movimiento relativo y ejemplos

4.1 Cantidades físicas relevantes para la cinemática 

 

Se deben redefinir las cantidades que se necesitan para describir el movimiento de una partícula en más de una dimensión, pues ahora son cantidades vectoriales. Se emplearán principalmente las coordenadas cartesianas para escribirlas. Debe notarse aquí que todo el contenido está basado en el de las secciones ya vistas de "Cinemática de una partícula en una dimensión" y "Cantidades vectoriales".

 

Posición

La posición de una partícula indica su ubicación respecto a un sistema de referencia. En tres dimensiones deberán especificarse tres números, con tantas cifras significativas como sea pertinente y sus unidades. Por ejemplo, en cartesianas, la posición de una partícula estaría dada por una expresión como ésta:

r = x i + y j + z k,

donde x, y y z son números reales con unidades de distancia. A continuación inserto un liga a un video que muestra vectores de posición en tres dimensiones, en cartesianas, empleando Geogebra. En el video se omiten las unidades y se usa la letra "v" en vez de "r", aquí preferiremos la letra r, pues v se reservará  para representar al vector de velocidad.

vectores en 3d

Desplazamiento

El desplazamiento se define como la diferencia entre la posición final y la inicial

Δr = r_f - r_i .

Respetando las reglas de la suma y resta de vectores en cartesianas, el desplazamiento en tres dimensiones queda

Δr = (x_f - x_i) i + (y_f - y_i) j + (z_f - z_i) k  = Δx i + Δy j + Δz k

Velocidad promedio

La velocidad promedio se define como el desplazamiento dividido entre el tiempo que le toma a la partícula hacer ese desplazamiento. El tiempo es un escalar, la operación que estaríamos haciendo para obtener la velocidad promedio a partir del desplazamiento es la multiplicación por un escalar, en particular por 1/t,

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea o simplemente velocidad, es el límite de la velocidad promedio cuando los intervalos se hacen infinitamente pequeños, es decir, tienden a cero. Respetando las propiedades de los límites, lo anterior implica que

y usando el lenguaje del cálculo

donde cada una de las componentes de la velocidad son v_x= dx/dt, v_y = dy/dt  y  v_z= dz/dt.

Rapidez

La rapidez es la magnitud del vector velocidad, indica la distancia que se cubre por unidad de tiempo, sin importar la dirección del movimiento. La magnitud del vector velocidad se denotará aquí con la letra v cursiva.

 Aceleración promedio

La aceleración promedio se define como la diferencia de velocidad que experimenta la partícula dividida entre el tiempo que le toma hacer ese cambio.

Aceleración instantánea

La aceleración instantánea o simplemente aceleración, es el límite de la aceleración promedio cuando los intervalos se hacen infinitamente pequeños, es decir, tienden a cero. Respetando las propiedades de los límites, lo anterior implica que

y usando el lenguaje del cálculo

donde cada una de las componentes de la velocidad son a_x= dv_x/dt, a_y = dv_y/dt  y  a_z= dv_z/dt.

Longitud de trayectoria

Es la distancia total recorrida en un cierto intervalo de tiempo. No debe confundirse con el desplazamiento. Para expresar de manera formal la definición de la longitud de trayectoria hace falta recurrir al lenguaje del Cálculo Integral:

A continuación se presenta una figura que muestra la diferencia entre desplazamiento y longitud de trayectoria. La longitud de trayectoria es la distancia que mide la línea gris, el vector de desplazamiento está representado por la flecha roja.

  

4.2 Ejemplos de movimiento en dos y más dimensiones

 

Ejemplo 1. Se tiene una partícula cuya velocidad es

v(t) = (-3.0 m/s) i + (-1.5 m/s + 2.0 m/s² t) j,

si la posición inicial, a t = 0.0 s,  es

r_i = (1.0 m) j

¿Cuáles serán las posiciones en (a) t₀ = 0.0 s,  en (b)  t₁ = 1.0 s y en (c) t₂ = 2.0 s ? (d) ¿Cuál es la aceleración como función del tiempo?

Dada la naturaleza de las coordenadas cartesianas se pueden trabajar las componentes de manera independiente. De la ecuación para la velocidad como función del tiempo se puede ver que su componente x es constante, esto implicará que la coordenada x de la posición varía uniformemente con el tiempo: x(t) = xi + vx t, por lo tanto las coordenadas x a los tiempos t0,  t1 y t2 son, respectivamente x0 = 0.0 m,  x1 = -3.0 m  y  x2 = -6.0 m. De la ecuación para la velocidad como función del tiempo se puede ver que su componente y varía de manera uniforma con el tiempo. La coordenada y debe entonces variar cuadráticamente en el tiempo y(t) = yi + viy t + ½ ay t2, por lo tanto las coordenadas y a los tiempos t0,  t1 y t2 son, respectivamente y0 = 1.0 m,  y1 = 0.5 m  y  y2 = 2.0 m. De la ecuación para la velocidad como función del tiempo se ve que la componente y tiene la forma vy(t) = viy + ay t, lo que permite identificar a la componente y de la aceleración como 2.0 m/s2. En resumen: (a) la posición de la partícula a t0 no es más que la posición inicial,  ésta ya estaba dada como r0 = (1.0_m) j. (b) la posición de la partícula a t1 es r1 = (-3.0 m) i + (0.5 m) j  y (c) la posición de la partícula a t2 es  r2 = (-6.0 m) i + (2.0 m) j. (d) El vector de aceleración como función del tiempo se escribe como a(t) = (2.0 m/s2) j.

 

4.3 Tiro parabólico y ejemplos

 Se la llama movimiento de proyectiles o tiro parabólico al movimiento de aceleración constante hacia abajo, en la dirección vertical, pero con velocidad no nula sobre la dirección horizontal. El resultado de esto es una trayectoria parabólica. El vector de posición para este movimiento es

r(t) = (x_i + v_ix t) i + ( y_i + v_iy t - ½ g t²) j,

es decir,  en la dirección horizontal la coordenada x es la de un movimiento con velocidad constante y en la dirección vertical, la coordenada y es la de un movimiento con aceleración constante -g. En la foto siguiente se aprecian las trayectorias parabólicas de los bloques volcánicos arrojados por una explosión.

Para ver más fotos de erupciones volcánicas tomadas por Raúl Arámbula visita su página de FB.

El vector velocidad para este movimiento es

v(t) =  v_ix i + ( v_iy  -  g t) j

y el de aceleración

a(t) =   -  g  j.

A continuación se muestran tres animaciones que exponen la diferencia entre los vectores de posición, de velocidad y de aceleración. Tomadas del sitio:

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Cinem%C3%A1tica_del_tiro_parab%C3%B3lico

Posición  r   

Velocidad v      

Aceleración a   

Ejemplo 1. Un rifle de tiro al blanco se apunta horizontalmente, alejado a una distancia de 130 m del blanco. La bala disparada por el rifle golpea 2 cm por debajo del punto que se tenía en la mira. (a) Despreciando la resistencia con el aire ¿cuánto tiempo le tomó a la bala hacer el trayecto desde el arma hasta el blanco? (b) ¿Cuál era la rapidez de la bala en la boca del arma?

(a) La componente de la velocidad inicial en la dirección vertical es cero, pues el arma se apunta horizontalmente  hacia el blanco.  Eso permite escribir para la componente vertical  Δy =  - ½ g t2, de la anterior ecuación se conoce Δy, se trata de los 2 cm hacia abajo (con signo negativo) de la altura inicial de la bala, también se conoce  g, de modo que se puede despejar al tiempo de vuelo y calcularlo. t = √(2 Δy/(-g)) = 0.064 s. (b) En la dirección horizontal la componente correspondiente de la velocidad es constante, entonces Δx = vix t, despejando a vix se obtiene vix = Δx/ t = 2 035 m/s y debido a que la componente vertical de la velocidad inicial es nula se puede escribir a la velocidad de la bala en la boca del arma como vi = (2 035 m/s) i.

 

Ejemplo 2. Un proyectil se lanza, sobre terreno horizontal, con una rapidez inicial conocida v_i y con un ángulo también conocido θ_i. ¿Qué alcance horizontal  tendrá?  Despreciando la resistencia del aire.

El proyectil que se lanza sobre terreno horizontal, parte del suelo, sea su coordenada yi = 0 , y llega otra vez al suelo al final de su trayectoria, donde nuevamente su coordenada vertical es yf = 0, lo que significa que Δy = 0. La coordenada y de la posición evoluciona en el tiempo como lo indica la ecuación Δy = viy t - ½ g t2, substituyendo Δy = 0  y  viy = vi sen θi   queda 0 = vi sen θi t - ½ g t2, como se supone que sí conocemos vi, θi y g, podemos despejar al tiempo y calcularlo. t = 2 vi sen θi / g. Con ese tiempo podemos ahora ver cuanto avanzó horizontalmente nuestro proyectil substituyéndolo en  Δx = vix t, donde vix = vi cos θi   Δx = 2 v2i sen θi cos θi  / g, y con la identidad trigonométrica 2 sen θi cos θi = sen (2 θi) queda Δx =  v2i sen (2 θi)  / g, que es el alcance horizontal que tendrá. Dado que el mayor valor que puede tener la función seno es la unidad, el ángulo de 45° proporciona el mayor alcance con una rapidez de lanzamiento dada.

 

Ejemplo 3. Un proyectil se lanza cuesta arriba, sobre un terreno plano que está inclinado un ángulo α respecto de la horizontal. El proyectil es lanzado con una rapidez inicial conocida v_i y con un ángulo también conocido θ_i, sobre la horizontal. ¿Qué alcance tendrá sobre la cuesta ?  Desprecia la resistencia del aire.

El proyectil se lanza desde una posición inicial que podemos establecer como el origen, es decir ri = 0 i + 0 j = 0. Cuando vuelva al suelo, debido a la inclinación del terreno, el proyectil tendrá una posición final en la que las coordenadas  xf  y  yf  estarán relacionadas  yf  = xf  tan α. Entonces la componente vertical del desplazamiento será Δy = yf  = xf  tan α.       I  Por otro lado, dado que se trata de un proyectil, también se debe cumplir Δy = yf  = viy t - ½ g t2.           II Para la componente horizontal podemos decir Δx = xf  = vix t.             III Revisando nuevamente I, II y III, podemos notar que se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, estas últimas son  xf,  yf  y t. Para intentar resolver este sistema podemos substituir I en II para obtener    xf  tan α = viy t - ½ g t2. esta ecuación junto con III ya forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Continuando con las substituciones, podemos combinar las dos últimas ecuaciones para obtener vix t  tan α = viy t - ½ g t2. De esta última expresión podemos despejar el tiempo t = 2/g (viy - vix tan α) que ahora está dado en términos de cantidades que se supone que conocemos. Substituyendo este tiempo en III se obtiene la componente horizontal del desplazamiento  xf  = 2/g (vix viy - vix2 tan α). Ahora substituyendo a viy = vi sen θi    y    vix = vi cos θi  xf  = (2/g) vi2 (sen θi cos θi  -  cos2θi  tan α), que con las identidades trigonométricas del ángulo doble se puede reescribir como xf  = (1/g) vi2 [sen 2θi   -  (cos 2θi +1) tan α]. Empleando la definición del coseno de un ángulo se puede encontrar la distancia d, medida sobre la cuesta, entre la posición inicial y la final d = xf /cos α =  (1/g) vi2 [sen 2θi   -  (cos 2θi +1) tan α] / cos α, que es precisamente el alcance del proyectil.

4.4 Movimiento relativo y ejemplos

 Hablamos de movimiento relativo cuando hay dos (o más) observadores, cada uno con su sistema de referencia propio, viendo el movimiento de una partícula. ¿Cómo es que reporta cada uno la posición de esa partícula? En la siguiente figura se muestran dos observadores, cada uno con un sistema de referencia distinto, pero con sus ejes cartesianos paralelos. En esta sección trataremos sólo el caso en que los ejes de los dos sistemas son paralelos. Las rotaciones se verán en cursos más avanzados.

Por ejemplo, podemos suponer que el sistema S está en reposo respecto de nosotros (anclado) y el sistema S’ está en movimiento. Ambos observadores están viendo una partícula p que a su vez se mueve respecto a ellos. Sea r_ps’ la posición de la partícula reportada por el sistema S’ y sea r_ps la reportada por el sistema S. Si el vector de posición del origen del sistema S’ respecto al sistema S es r_s’s entonces la relación entre los tres vectores mencionados es

r_s’s + r_ps’ = r_ps ,          

como se ve claramente analizando la figura. La convención en el orden de los subíndices para movimiento relativo es poner primero la etiqueta del objeto al que se refiere la cantidad y luego la etiqueta que indica quién es el que mide esa cantidad.

Si derivamos respecto al tiempo la ecuación de las posiciones obtenemos

v_s’s + v_ps’ = v_ps ,    

ecuación que se conoce como “la relatividad galileana de las velocidades”, ésta nos dice que la velocidad de la partícula respecto al sistema anclado es la suma de la velocidad respecto al sistema que se mueve más la velocidad del sistema que se mueve respecto al anclado. Un buen ejemplo de esto, en una dimensión, es una persona caminando sobre una banda que a su vez se mueve respecto del suelo.

Como la velocidad de la persona respecto a la banda y la de la banda respecto al suelo tienen la misma dirección y sentido, la rapidez de la persona respecto del suelo es la suma de las otras dos.

 

En realidad, la relatividad galileana de las velocidades es una relación entre vectores y por lo tanto no se debe olvidar que la suma implicada es vectorial. La siguiente animación está extraída de la película muda, en blanco y negro, que se lanzó en 1926 “El Maquinista de la General”, de Buster Keaton, muestra de forma muy original un movimiento circular superpuesto con uno de velocidad constante.

Aquí la suma de las velocidades es claramente vectorial. A continuación, se presenta un esquema animado de esta suma. El símbolo v_ts representa la velocidad del tren respecto al suelo, v_Bt la velocidad de Buster respecto al tren y v_Bs la velocidad de Buster respecto al suelo.

Ahora ya sabemos como se relacionan las posiciones y las velocidades según las ven los dos observadores, pero ¿y las aceleraciones? Si derivamos respecto al tiempo la ecuación de las velocidades obtenemos

a_s’s + a_ps’ = a_ps ,         

si además suponemos que el sistema S’ se mueve con velocidad constante respecto de S y ninguno de los dos está acelerado, es decir, si ambos son sistemas inerciales de referencia, podemos simplificar lo anterior a

 a_ps’ = a_ps .

Esto quiere decir que, si ambos observadores son sistemas de referencia inerciales, aunque uno se esté moviendo respecto al otro, observarán la misma aceleración para la partícula que están mirando.

 

Ejemplo 1. En uno de los pasillos de la correspondencia entre las líneas 8 y 12 del metro, en la estación Atlalilco, Pedro camina sobre el suelo firme, sin usar la banda transportadora y tarda 150 s para atravesarlo. Pablo, simplemente va de pie sobre la cinta transportadora y tarda 70 s en atravesar el mismo pasillo. En el caso de María, como ella tiene prisa, no solo va sobre la cinta móvil sino que camina sobre ésta. ¿Cuánto tiempo le lleva a María atravesar el pasillo? Suponga que Pedro y María tienen un paso muy similar, es decir, que si estuvieran en las mismas condiciones irían a la misma velocidad. Como detalle curioso, esta correspondencia es la más larga del sistema de transporte colectivo Metro CDMX y  tiene cuatro bandas móviles por sentido.

 

Aquí María juega el papel de la partícula y Pablo, junto con la banda móvil, juega el papel del sistema de referencia que se mueve S’. Pedro sólo aparece en la historia para que podamos inferir la velocidad que lleva María al caminar respecto de la banda. No sabemos cuánto mide el pasillo en realidad, pero representemos esa longitud con el símbolo d. Sean: vmb → la velocidad que lleva María respecto de la banda móvil. vbs → la velocidad de la banda (o Pablo) respecto del suelo. vms → la velocidad de María respecto del suelo. Entonces: vmb = d/(150 s),  vbs = d/(70 s)  y  vms = d/tm . Donde tm es el tiempo que le toma a María atravesar el pasillo, precisamente el que estamos buscando. Ahora podemos escribir la ecuación que representa la relatividad galileana de velocidades: vms = vmb + vbs , substituyendo los números queda d/tm  =  d/(150 s) + d/(70 s) , ahora dividiendo toda la ecuación entre la distancia d queda 1/tm  =  1/(150 s) + 1/(70 s) y despejando a tm se obtiene

Ejemplo 2. Un botero novato quiere atravesar un río a lo ancho. Su bote es capaz de ir a 10 km/h respecto del agua, pero la corriente tiene una velocidad de 5 km/h en dirección este. Como no es muy experimentado, él dirige su proa hacia el norte, como lo indica la figura, así la corriente lo hace derivar hacia el este y llega a la otra orilla del río un poco lejos del embarcadero, que no era el sitio al que quería llegar.

Los símbolos representan lo siguiente:

v_as → la velocidad del agua respecto del suelo.

v_ba → la velocidad del bote respecto del agua.

v_bs → la velocidad del bote respecto del suelo.

(a) ¿Cuál es la rapidez del bote respecto del suelo? (b) ¿Cuál es el ángulo θ que se desvía de la dirección norte? (c) Si el río mide 100 m de ancho, ¿a qué distancia está el punto a dónde toca tierra del embarcadero?

(a) Aquí el agua juega el papel del sistema que se mueve S’, el suelo es el sistema anclado S y el bote es la partícula que ambos sistemas observan. Entonces, la relatividad galileana de las velocidades dice que vbs = vba + vas , pero los vectores vba y vas son perpendiculares, por lo que la magnitud del vector resultante es (b) Mirando la figura y viendo que los tres vectores involucrados forman un triángulo rectángulo, se pueden utilizar varias funciones trigonométricas para encontrar el valor de θ. Aquí vamos a usar la tangente, de modo que tan θ = vas / vab = 0.5 y por lo tanto θ = arctan (vas / vab) = 26.6 °. (c) Si el ancho del río se ve como el cateto adyacente al ángulo θ, en un triángulo rectángulo semejante al de las velocidades (la dirección de la velocidad es la dirección que tiene movimiento), el cateto opuesto será la distancia d del embarcadero al punto en que el bote llega a tierra. Empleando nuevamente la tangente tan θ = d / (100 m) se encuentra que d = (100 m) tan θ = 50 m.  Mmmmm… ¡le falló no por poquito!

Ejemplo 3. El botero del problema anterior va adquiriendo experiencia y con el tiempo se vuelve un experto. Ahora él sabe que debe dirigir la proa ligeramente hacia el oeste para compensar el efecto de la corriente. Sigue siendo la rapidez del bote respecto del agua de10 km/h y la velocidad de la corriente de 5 km/h en dirección este.

¿Cuál es ese ángulo θ que la proa debe hacer respecto del norte para viajar en línea recta respecto de tierra y llegar al embarcadero? ¿Será el mismo ángulo θ del ejemplo anterior?

La relatividad galileana de las velocidades sigue siendo vbs = vba + vas , pero ahora los vectores vba y vas no son perpendiculares. Si alineamos al eje y con la dirección norte-sur y al eje x con la dirección este-oeste, la componente x del vector resultante vbs  debe ser nula si queremos que la trayectoria del bote respecto a tierra se dirija al norte, entonces la suma se ve así vbax + vas = vbsx = 0, vbay + 0 = vbsy. Como la rapidez del bote respecto del agua es de 10 km/h se debe cumplir v2bax + v2bay = (10 km/h)2. Por otro lado, la tangente de θ es la razón de las componentes de la velocidad del bote respecto del agua tan θ = vbax / vbay, Combinando las cuatro ecuaciones anteriores se puede escribir y como vas = 5 km/h lo que quiere decir que θ = 30 ° y no es el mismo valor que el del ejemplo 2, aunque se parece.