5 Leyes del movimiento

Tabla de Contenidos

• 1. Las leyes de Newton
• 2. La fuerza de gravedad, el peso y la fuerza normal
• 3. Ejemplos: peso y normal
• 4. Interacción entre objetos
• 5. Ejemplos: interacción

5.1 Las leyes de Newton 

 Las leyes del movimiento de Newton son tres leyes físicas que, juntas, sentaron las bases para la mecánica clásica. Describen la relación entre el movimiento de un cuerpo y las fuerzas que actúan sobre él. Más precisamente, la primera ley define la fuerza cualitativamente, la segunda ley ofrece una medida cuantitativa de la fuerza, y la tercera afirma que no existe una sola fuerza aislada. A lo largo de casi tres siglos, estas tres leyes se han expresado de varias maneras, se pueden resumir de la siguiente manera:

Primera ley

Un objeto permanece en reposo o continúa moviéndose a una velocidad constante, es decir, conserva su estado de movimiento a menos que una "fuerza" actúe sobre él.

Segunda ley

El cambio en el estado de movimiento de un objeto es proporcional a la suma de las fuerzas que actúan sobre él  e inversamente proporcional a su "masa". Esta ley se puede resumir en una ecuación:

 ∑ F = m a,

donde F es una fuerza, m es la masa y a la aceleración del objeto.

Tercera ley

Cuando un cuerpo ejerce una fuerza F₂₁ sobre un segundo cuerpo, el segundo cuerpo ejerce simultáneamente una fuerza F₁₂ de igual magnitud y dirección opuesta sobre el primer cuerpo. Esta ley también se puede resumir en una ecuación:  F₂₁ = - F₁₂.

Para que estas tres leyes queden claras, deben quedar claras también las definiciones de "fuerza" y "masa". Fuerza es toda aquella interacción capaz de cambiar el estado de movimiento de un objeto y masa (que no necesariamente es la cantidad de materia) es esa propiedad que tienen los objetos de resistirse al cambio en su estado de movimiento. Las fuerzas son cantidades que se comportan como vectores y la masa es una cantidad escalar. La unidad para la masa en el SI es el kilogramo y  la unidad para la fuerza, en el mismo sistema, es el newton, se abrevia con la letra "N", específicamente 1 N = 1 kg m/s².

 Las tres leyes del movimiento fueron compiladas por primera vez por Isaac Newton en su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural), publicada por primera vez en 1687. Newton los usó para explicar e investigar el movimiento de muchos objetos y sistemas físicos. Por ejemplo, en el tercer volumen del texto, Newton mostró que estas leyes del movimiento, combinadas con su ley de gravitación universal, explicaban las leyes del movimiento planetario de Kepler.

 

Ligas a videos entretenidos relacionados con las Leyes de Newton:

https://www.youtube.com/watch?v=_X-BTbwj3xU

https://www.youtube.com/watch?v=86ZNmoAdlNg

5.2 La fuerza de gravedad,  el peso y la fuerza normal

Para explicar la gravedad, Newton propuso que los objetos que poseen masa también tienen el poder de atraer otros objetos y que esta fuerza de atracción es proporcional al producto de sus masa e inversamente proporcional a la distancia que los separa. Entre objetos pequeños, o mejor dicho, de poca masa, la fuerza de gravedad  es muy pequeña también. Cuando se trata de objetos con una gran masa, como la Tierra, la fuerza de gravedad ya no es nada despreciable. A la fuerza que ejerce la Tierra sobre los objetos que estamos sobre ella le llamamos peso. ¿Cómo sabemos cuál es nuestro peso? Podemos hacer el siguiente experimento:

Dejémonos caer libremente ¡no necesita ser desde una gran altura! puede ser desde la altura de un escalón (asegurémonos de no lastimarnos). Aún que sean sólo 30 cm, se trata de cada libre y nuestra aceleración, sin ninguna sorpresa, será a = - g j. ¿Qué fuerza nos aceleró? pues la gravedad, nuestro propio peso. Siguiendo la segunda ley de Newton podemos escribir F_peso = m a  ==> F_peso =  - m g j, por lo que la magnitud de nuestro peso F_peso será simplemente m g, en conclusión

F_peso =   m g.

Si nuestra masa es conocida, por ejemplo 70.0 kg, la magnitud de nuestro peso será  686.5 N, donde hemos empleado g = 9.80665 m/s² que es la aceleración de la gravedad estándar y el resultado está escrito hasta las décimas. Regularmente, en nuestro día a día, no empleamos los newtons para medir peso, en México preferimos los "kilos". Un kilo, también conocido como kilogramo-fuerza o kilopondio, es 1/9.80665 N, o bien, 0.10197 N aproximadamente, de modo que si tenemos un peso de  686.5 N también podemos decir que pesamos 70.0 kilos (no kg sino "kilos"). Según la anterior explicación debe quedar claro que la masa y el peso no son lo mismo y a veces, ni siquiera son proporcionales, dado que la aceleración de la gravedad varía ligeramente según la región geográfica en la que estemos.

La fuerza llamada "fuerza normal" es aquella que ejercen las superficies sobre los objetos que se apoyan en ellas y que tiene dirección perpendicular a dichas superficies. El adjetivo "normal" se refiere a el hecho de que son perpendiculares, en geometría "normal" es un sinónimo de perpendicular. Regularmente, durante el día, estamos sometidos a la fuerza de gravedad y a la normal:

Vivimos "ensangüichados" entre dos fuerzas, nuestro peso y la normal de la superficie donde nos apoyamos. Esa situación es la que nos produce la sensación de peso, cuando caemos libremente no sentimos nuestro peso. Un objeto en órbita es un objeto que constantemente está cayendo, las personas que habitan la Estación Internacional, que está en órbita alrededor de la Tierra, parecen estar ingrávidos. No es que no estén sometidos a la fuerza de gravedad, es que no hay ninguna superficie deteniendo su caída, como a nosotros nos detiene el piso.

 

 

¿Cómo medimos nuestro peso? Regularmente medimos nuestro peso con ayuda de una báscula, puede ser una simple báscula de piso.  Pero ¿qué es lo que realmente mide la báscula? seguramente no mide nuestro peso de forma directa, porque podemos hacer trampa, si nos apoyamos en el lavabo indicará un menor peso del que debería.

Video mostrando cómo podemos burlar a la báscula (se incluye aquí este video para fines exclusivamente educacionales): 

Si hacemos sentadillas rápidamente sobre la báscula, la aguja oscilará dando valores menores y mayores a nuestro peso. ¿Podemos entonces saber qué es exactamente lo que mide? Una báscula mecánica tiene un resorte qué permite medir la fuerza que lo comprime, si está apoyada sobre el piso, el aparato mide la fuerza con la que comprimimos su superficie. Por la tercera ley de Newton, sabemos que la magnitud de dicha fuerza es igual a la que ejerce esa superficie sobre nosotros, así que, en resumen, lo que está indicando la aguja es la magnitud de la fuerza normal. Video: 

 

5.3 Ejemplos: peso y normal

 

Ejemplo 1. Un individuo de 70 kg de masa está de pie, en reposo y en equilibrio sobre una báscula. La báscula, a su vez, está apoyada sobre el piso de un elevador. ¿Qué indica la báscula?

(a) si el elevador está también en reposo y en equilibrio,

(b) si el elevador se mueve hacia arriba con velocidad constante,

(c) si el elevador se mueve hacia abajo con velocidad constante,

(d) si se acelera hacia arriba con  a = 2.5 m/s²j,

(e) si se acelera hacia abajo con a = - 2.5 m/s²j.

Para resolver los problemas de dinámica conviene siempre comenzar por representar todas las fuerzas que actúan sobre el objeto en cuestión con flechas en un "diagrama de cuerpo libre". En este diagrama debe también estar presente el sistema de referencia. No necesita estar perfectamente a escala, pero entre más claro sea el bosquejo más útil será. El diagrama de cuerpo libre para el individuo se muestra a la izquierda del texto.↓ Sólo hay dos fuerzas que están actuando sobre la persona, su peso y la gravedad. A continuación exigiremos que se cumpla la segunda ley de Newton (aunque sea Einstein el del retrato): ∑ F = ma. Como las fuerzas y el movimiento ocurren en una sola dirección, la vertical, podemos reescribirla como una ecuación escalar  N - mg = ma. (a) Si la persona está quieta, en reposo y en equilibrio, la aceleración es cero: N - mg = 0. De aquí que la magnitud de la normal sea igual a la magnitud del peso. Si el peso del individuo es mg = 686 N, la báscula, que seguramente está graduada en kilos, estará marcando 70.0 kilos (o kilogramos-fuerza, kilopondios etc.).   (b) Si la persona se mueve con velocidad constante, en cualquier dirección, la aceleración también es cero, pues no hay cambio de velocidad, de modo que aquí también  N - mg = 0 y la báscula marca 70.0 kilos. (c) Vuelve a ocurrir lo mismo que en los dos incisos anteriores, así que la báscula marca 70.0 kilos. (d) En este caso la aceleración es hacia arriba a = 2.5 m/s2j, su magnitud es a = 2.5 m/s2, por lo que la segunda ley de Newton se escribe N - mg = ma  y despejando a la normal N = m(a + g). Substituyendo queda N = 861 N, pero como la báscula está graduada en kilos ésta marcará N = 87.9 kilos, casi ocho kilos más que el peso de la persona. Eso explica la sensación de compresión cuando, estando dentro de un elevador, éste se acelera hacia arriba. Hay dos posibilidades para que esto ocurra, ya sea que el elevador esté comenzando a moverse hacia un piso de más altura que el nuestro o que esté moviéndose hacia abajo y esté frenando para detenerse en un piso de menor altura. (e) En este caso la aceleración es hacia abajo a = - 2.5 m/s2j, su magnitud es a = 2.5 m/s2, por lo que la segunda ley de Newton se escribe N - mg = - ma  y despejando a la normal N = m(g - a). Substituyendo queda N = 511 N, pero como la báscula está graduada en kilos ésta marcará N = 52.1 kilos, ¡casi veinte kilos menos que el peso de la persona!. Eso explica la sensación de mariposas en el estómago cuando, estando dentro de un elevador, éste se acelera hacia abajo. Hay dos posibilidades para que esto ocurra, ya sea que el elevador esté comenzando a moverse hacia un piso de menos altura que el nuestro o que esté moviéndose hacia arriba y esté frenando para detenerse en un piso de mayor altura.

 

Ejemplo 2. Un bloque se desliza hacia abajo de un plano inclinado con un ángulo θ, sin fricción. El bloque parte del reposo, ¿con qué aceleración desciende?

Comenzamos por hacer el diagrama de cuerpo libre en el que aparezcan todas las fuerzas que actúan sobre el bloque y el sistema de referencia.  Aquí nos convendrá mucho establecer el sistema de referencia con el eje x paralelo a la superficie del plano  y el eje y perpendicular a ella. Nótese que el ángulo de inclinación del plano respecto de la horizontal es el mismo que el ángulo que hace la perpendicular al plano respecto de la vertical. El siguiente paso es exigir que se cumpla la segunda ley de Newton, ∑ F = ma. Pero ahora las fuerzas actúan en dos dimensiones, entonces la ecuación vectorial de la segunda ley implica dos ecuaciones escalares, una para cada componente cartesiana, debido a las propiedades que tiene la suma de vectores: ∑ Fx = m ax     y       ∑ Fy = m ay Estas dos ecuaciones por separado escritas para nuestro plano inclinado son ∑ Fx = mg sen θ  = m ax    y   ∑ Fy =  N - mg cos θ  = m ay. Pero sabemos de antemano que el bloque se deslizará sobre la superficie  del plano, no irá dando saltos como si fuera una rana, esto significa que sólo habrá movimiento, velocidad y aceleración, en la dirección paralela al plano de modo que ay = 0 y ax = a, todo el vector aceleración irá en la dirección que escogimos como x. Reescribiendo nuestras ecuaciones tenemos  mg sen θ  = m a    y   N - mg cos θ  = 0. En este par de ecuaciones, suponemos conocidos al ángulo θ y a g, pero queremos conocer la aceleración. En la primera ecuación podemos eliminar la masa, dado que es un factor común, ahora queda a = g sen θ que es la solución al problema. Si hubiésemos escogido otro sistema de referencia habríamos tenido que hacer mucha más álgebra para llegar al resultado. Debemos notar que el resultado final no depende de la masa, así como en la caída libre, la aceleración con la que desciende un objeto por un plano inclinado, sin fricción, no depende de su masa.

 

Ejemplo 3. Un gran bloque de masa m = 250 kg se apoya en el piso pero también es tirado por dos cuerdas como indica la figura, donde θ₁ = 60° . El bloque se encuentra en reposo y en equilibrio.

 Si la magnitud de T₁ debe ser 1.5 veces la magnitud de T₂ y T₁ = 950 N, (a) Encuentra el ángulo θ₂. (b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza normal? (c) ¿Cuánto debe de aumentar la tensión T₁ para que el gran bloque pierda contacto con el piso?

Si se está apoyando en el piso, el diagrama de cuerpo libre para el objeto es: Como está en reposo y en equilibrio la aceleración es nula. Exigir que se cumpla la segunda ley de Newton nos deja las siguientes dos ecuaciones, una para cada componente. ∑ Fx = - T1 cos θ1 + T2 cos θ2  = 0, ∑ Fy = N + T1 sen θ1 + T2 sen θ2 - mg= 0. Si ahora tomamos en cuenta que T1 = 1.5 T2 queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas - cos θ1 + 1/1.5 cos θ2  = 0, N + T1 sen θ1 + T1/1.5 sen θ2 - mg= 0. (a) De la primera ecuación se puede despejar a cos θ2  3/2 cos θ1 = cos θ2  , por lo que θ2 = 41.4°.  (b) De la segunda ecuación se puede despejar la magnitud de la fuerza normal N = - T1 (sen θ1 + 1/1.5 sen θ2) + mg= 1 208 N. (c) Si aumentamos a T1 hasta que el bloque pierda contacto con el piso, sabemos que la fuerza normal se anulará, pero ahora desconocemos a la nueva T1. La segunda ecuación de nuestro sistema de ecuaciones se transforma en esta otra  T1 (sen θ1 + 1/1.5 sen θ2) - mg= 0 y despejando a T1 queda T1  = mg / (sen θ1 + 1/1.5 sen θ2)  = 1 875 N

 

5.4 Interacción entre objetos

Según la tercera ley de Newton, la fuerza que ejerce un objeto A sobre un objeto B es de la misma magnitud que la que ejerce el objeto B sobre el A, pero en sentido contrario.

En la notación de los subíndices, la convención será la siguiente: el primer subíndice indica sobre qué objeto está actuando la fuerza y el segundo indica qué objeto es el que está produciendo esa fuerza. La tercera ley de Newton puede parecer una paradoja si se mira de forma ingenua, si las dos fuerzas tienen la misma magnitud y sentidos contrarios ¿porqué no se anulan?, pues porque actúan sobre objetos distintos. Para entender esto mejor, se puede suponer que un objeto tiene mucha más masa que el otro, por ejemplo, imagina una persona que salta sobre el piso y que éste a su vez forma parte del planeta Tierra. La persona está ejerciendo una fuerza del orden de cientos de Newtons sobre el resto de la Tierra y el plantea está correspondiendo con una fuerza del mismo tamaño y en sentido contrario sobre la persona. Como consecuencia la persona sufrirá una aceleración grande hacia arriba que la frenará hasta que quede en reposo sobre el piso y si toda va bien, no sufrirá lesiones. La magnitud de esa aceleración se puede calcular dividiendo la magnitud de la fuerza entre la masa de la persona a_persona = F/m_persona, como la masa de la persona no sobrepasa los 100 kg, la aceleración resultará en algunos m/s². Por otro lado, para el resto del planeta, a_planeta = F/m_planeta, pero como la masa del planeta es muchos millones de veces más grande que la de la persona, a_planeta resultará muchos millones de veces más pequeña que a_persona, de modo que la aceleración de la Tierra debido a esto será imperceptible.

Los objetos también pueden interactuar mediante cuerdas que los aten entre sí. En este curso elemental las cuerdas las supondremos ideales. Una cuerda ideal no tiene masa significativa, para efectos prácticos, se puede considerar nula. Las cuerdas ideales no modifican su longitud, siempre miden lo mismo, mientras no se les corte. La tensión en una cuerda tira de los objetos que están en sus extremos con una fuerza de la misma magnitud, que es igual a la de la tensión, pero en sentido contrario.

Las cuerdas se pueden pasar por poleas para cambiar la dirección de la tensión, entre otras cosas. Aquí también las poleas serán ideales, de masa poco significativa o nula y sin fricción en los rodamientos.

Una polea ideal no cambia la magnitud de la tensión sólo cambia la dirección de ésta, a costa de ejercerse fuerza también sobre la polea. Si la polea está fija sobre alguna mesa y a su vez la mesa también está fija sobre el piso, la fuerza que se ejerce sobre la polea no debe representar un obstáculo para el buen funcionamiento de nuestro experimento, aunque sea pensado.

 

 5.5 Ejemplos: interacción

Ejemplo 1. El objeto A de masa m_A está apoyado sobre una superficie sin fricción, una cuerda ideal une al objeto A con el objeto B de masa m_B y esta cuerda pasa por una polea ideal como indica la figura.

(a) ¿Cuál es la magnitud a de la aceleración de los objetos? (b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

 

Para resolver el problema, lo primero que haremos es el diagrama de cuerpo libre para ambos objetos. En la imagen, los diagramas de cuerpo libre de los objetos están sobrepuestos a la figura original. Antes de exigir que se cumpla la segunda ley de Newton, podemos ver nuestro arreglo experimental y notar que la aceleración del objeto A sólo tendrá componente x y la aceleración del objeto B sólo tendrá componente y. Además, como se trata de una cuerda ideal, las magnitudes de esas dos aceleraciones serán iguales también. Ahora debemos exigir que se cumpla la segunda ley de Newton para ambos objetos simultáneamente. Para el objeto A y para cada una de las componentes cartesianas: ∑ FAx = T = mAa          y               ∑ FAy = N - mAg = 0. Para el objeto B y para cada una de las componentes cartesianas: ∑ FBx = 0           y               ∑ FBy = T - mBg = - mBa. Se debe tener mucho cuidado aquí con los signos, los símbolos N, T y a se refieren a magnitudes de vectores, por lo que son cantidades positivas, si la componente en cuestión es negativa hay que poner el signo explícitamente y respetando las convenciones. Resumiendo, ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: T = mAa,                    N - mAg = 0                y          T - mBg = - mBa, las incógnitas se señalan en rojo. Recordemos que se supone que sí conocemos las masas de los objetos y a g.  (a) De las tres ecuaciones,  combinando la primera y la tercera obtenemos mAa  - mBg = - mBa y despejando la aceleración queda a = g mB / (mA + mB) . (b) Con ese resultado, regresando a la primera ecuación de nuestro conjunto de tres, podemos encontrar el valor de la tensión: T = g mAmB / (mA + mB).