6 Dinámica de la partícula

Tabla de Contenidos

• 6.1 Fuerzas de fricción
• 6.2 Fuerza de fricción estática
• 6.3 Ejemplos de fricción estática
• 6.4 Fuerza de fricción cinética
• 6.5 Ejemplos de fricción cinética

 

6.1 Fuerzas de fricción 

 

Aquí trataremos la fuerza de fricción que se opone al movimiento relativo de superficies sólidas secas (sin lubricar). Dicha fuerza aparece debido a la interacción de las asperezas de dichas superficies. En la siguiente imagen tomada de:

 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/Friction_between_surfaces.jpg

se muestra una simulación visual de las asperezas de dos superficies en 3D.

Estas asperezas hacen que deslizar, o tratar de deslizar, una superficie respecto de otra presente resistencia. Por ello los objetos no se pueden mover con velocidad constante al deslizarse sobre una superficie si no se les aplica una fuerza extra y si se deja de aplicar esa fuerza, el objeto se frena hasta el reposo. Debido a este hecho, mucho tiempo se pensó que el "estado natural" de las cosas era el reposo y no el movimiento con velocidad constante (rectilíneo uniforme).

Hay dos tipos de fuerzas de fricción entre superficies secas: la de fricción estática f_s y la de fricción cinética f_k. Fricción estática se refiere a la que surge entre dos o más objetos sólidos cuyas superficies de contacto no se mueven entre sí. Por ejemplo, la fricción estática puede evitar que un objeto se deslice por una superficie inclinada.  En la fotografía se ve un globo terráqueo apoyado sobre una superficie inclinada, si no fuera por la fuerza de fricción estática, se deslizaría hasta caer al suelo. La fuerza de fricción cinética ocurre cuando las superficies de dos objetos, presionados uno contra el otro, se mueven generando rozamiento entre ellas. 

 

 

Ambos tipos de fuerzas de fricción dependen de la fuerza de contacto entre las superficies, es decir la normal, mientras mayor sea la magnitud de la normal, más entran las rugosidades de una superficie en la otra. Obviamente la fuerza de fricción también dependerá de que tan rugosas sean esas superficies. El coeficiente de fricción, a menudo simbolizado por la letra griega µ, es un valor escalar adimensional que depende de los materiales utilizados; por ejemplo, el hielo en el acero tiene un bajo coeficiente de fricción, mientras que el caucho en el pavimento tiene un alto coeficiente de fricción. Los coeficientes de fricción varían de cerca de cero a un poco más de uno.

6.2 Fuerza de fricción estática

Si tratamos de poner en movimiento un objeto queriéndolo arrastrar por el piso, aumentando poco a poco la magnitud de la fuerza F con la que empujamos, llegará un momento que saldrá del reposo. Digamos que la magnitud de la fuerza con la que logramos sacar del reposo al objeto sea F_crítica. ¿Pero que pasa antes de que se comience a mover? A pesar de que empujamos con una fuerza no nula éste no sale del reposo y el equilibrio, es decir su velocidad y su aceleración son nulas. Hagamos el diagrama de cuerpo libre de ese caso.

Ahora debemos exigir que se cumpla la segunda ley de Newton. Mientras F ≤  F_crítica, la suma de las fuerzas se debe anular pues la aceleración es cero, de modo que

N = mg            y          f_s = F.

Esto quiere decir que, al igual que F, la magnitud de la fuerza de fricción  f_s  puede tener cualquier valor entre cero y la fuerza crítica, pero no puede ser mayor a F_crítica,  pues ya entraríamos en el régimen cinético.  Lo anterior se puede resumir en una expresión:

f_s  ≤  N μ_s,

donde μ_s es el coeficiente de fricción estático y depende de la combinación de superficies de las que se trate. Algunos valores aproximados de coeficientes de fricción estática se muestran en la columna central de la siguiente tabla.

El coeficiente de fricción es una medida empírica: debe medirse experimentalmente y no se puede encontrar a través de cálculos. Las superficies más rugosas tienden a tener valores efectivos más altos.

 

6.3 Ejemplos de fricción estática

 

Ejemplo 1.  Se pretende averiguar el valor del coeficiente de fricción estática entre dos materiales, para lo cual se coloca un objeto del material #1 sobre un plano inclinable de material #2. Se comienza por apoyar el objeto sobre el plano estando completamente horizontal. Muy lentamente se va inclinando el plano hasta que el objeto salga del equilibrio y luego se mide ese ángulo θ_crítico.. ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática entre los materiales 1 y 2?

El diagrama de cuerpo libre para el objeto se presenta en la figura de la derecha. Este diagrama es válido para el régimen estático, es decir para cuando el ángulo de inclinación no cambia el estado de reposo y equilibrio del objeto, que corresponde al rango  0 ≤ θ ≤ θcrítico. Exigir que se cumpla la segunda ley de Newton en componentes cartesianas nos lleva a las siguientes dos ecuaciones: ∑ Fx = mg sen θ - fs = 0    y   ∑ Fy =  N - mg cos θ  = 0. Además, tenemos la expresión que describe como se comporta la fuerza de fricción estática fs  ≤  N μs. Trataremos de combinar algebraicamente estas tres expresiones para obtener el coeficiente de fricción. De la primera ecuación despejamos fs  y de la segunda la magnitud de la normal, posteriormente substituimos los resultados en la desigualdad para obtener mg sen θ  ≤  μs mg cos θ. Todas las cantidades representadas en la desigualdad son positivas, de modo que se puede simplificar sin complicaciones sen θ  ≤  μs cos θ  ==>  tan θ  ≤  μs. Este resultado nos dice, que si el régimen ha de ser estático la tangente del ángulo de inclinación del plano debe ser menor, o cuando más igual, al coeficiente de fricción estática. Si la tangente supera ese valor, el objeto se desliza, de modo que   tan θcrítico  =  μs, Si podemos medir el ángulo crítico, podremos encontrar el coeficiente de fricción estática. Nótese que no importó la masa del objeto ni el valor de g (mientras no sea nulo).

 

Ejemplo 2.  Se tiene presionado al borrador contra el pizarrón con una fuerza P, como indica la figura, el ángulo θ es de 40°. La masa del borrador es m = 65 gramos y el coeficiente de fricción estática entre las superficies es de μ_s = 0.4. ¿Cuál es el rango de fuerzas que mantendrá al borrador en reposo y en equilibrio?

 

 

 

 

 

El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura de la derecha. Se debe notar que no sabemos la dirección de la fuerza de fricción a priori. Si estamos presionando demasiado el borrador podemos hacerlo salir del equilibrio y acelerarse hacia arriba, si estamos apunto de lograr eso, la dirección de la fuerza de fricción está apuntando hacia abajo. Por otro, lado si estamos presionando muy poco el borrador puede que se nos deslice hacia abajo, si está a punto de ocurrir eso la fuerza de fricción estática está dirigida hacia arriba. La fuerza de fricción siempre actuará para tratar de evitar el movimiento relativo entre las superficies. Primer caso. La fuerza P es lo suficientemente grande como para que la fuerza de fricción apunte hacia abajo. Exigir que se cumpla la segunda ley de Newton en componentes cartesianas nos deja las siguientes ecuaciones: ∑ Fx = - N + P sen θ = 0    y   ∑ Fy = - fs - mg + P cos θ  = 0. Además contamos con la expresión que nos dice como se comporta la fuerza de fricción estática fs  ≤  N μs. Trataremos de combinar algebraicamente estas tres expresiones para obtener la magnitud de la fuerza P. De la primera despejamos a N, de la segunda despejamos a fs y posteriormente substituimos en la tercera P cos θ - mg  ≤   μs P sen θ   ==>    P (cos θ - μs  sen θ)  ≤   mg. Para despejar a P necesitamos conocer el signo de la cantidad entre paréntesis, pues si queremos dividir a ambos lados entre ella, al ser negativa tendríamos que invertir el sentido del símbolo de desigualdad. Confirmando con la calculadora que    cos θ - μs  sen θ > 0  proseguimos con el despeje P   ≤   mg / (cos θ - μs  sen θ) = 1.25 N. El resultado anterior nos dice que, para mantener el equilibrio y que el borrador no se deslice hacia arriba, la magnitud de la fuerza P debe ser menor o igual a 1.25 N. Segundo caso. La fuerza P es relativamente pequeña y entonces la fuerza de fricción apunta hacia arriba. Exigir que se cumpla la segunda ley de Newton en componentes cartesianas nos deja las siguientes ecuaciones: ∑ Fx = - N + P sen θ = 0    y   ∑ Fy =  fs - mg + P cos θ  = 0. Además contamos con la expresión que nos dice como se comporta la fuerza de fricción estática fs  ≤  N μs. Trataremos de combinar algebraicamente estas tres expresiones para obtener la magnitud de la fuerza P. De la primera despejamos a N, de la segunda despejamos a fs y posteriormente substituimos en la tercera mg - P cos θ  ≤   μs P sen θ    ==>   mg  ≤  P (cos θ + μs  sen θ)    . Despejando a P P   ≥   mg / (cos θ + μs  sen θ) = 0.62 N. El resultado anterior nos dice que, para mantener el equilibrio y que el borrador no se deslice hacia abajo, la magnitud de la fuerza P debe ser mayor o igual a 0.62 N. Con todo lo anterior podemos concluir que el rango de fuerzas que mantiene en el equilibrio al borrador es 0.62 N  ≤  P  ≤  1.25 N.

 

6.4 Fuerza de fricción cinética

La fricción cinética (también conocida como fricción dinámica) ocurre cuando las superficies de dos objetos se mueven una respecto de la otra y hay rozamiento (como un trineo sobre el suelo). El coeficiente de fricción cinética se denota típicamente como μ_k, y generalmente es menor que el coeficiente de fricción estática para los mismos materiales. La fuerza de fricción entre dos superficies después del comienzo del deslizamiento es aproximadamente igual al producto del coeficiente de fricción cinética y la fuerza normal:

f_k  =  N μ_k,

es decir, es aproximadamente constante. Debido a que el coeficiente de fricción cinética suele ser un poco menor que el de la fricción estática, suele también ser menor la magnitud de la fuerza para mantener el movimiento de velocidad constante que la que se necesita para sacar del reposo al objeto en cuestión. En la siguiente figura, tomada de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/frict2.html se muestra una gráfica de la fuerza de fricción como respuesta a la fuerza aplicada horizontalmente sobre un objeto que se quiere deslizar sobre una superficie también horizontal. El peso del objeto es de 100 N,  el coeficiente de fricción estática es de 0.5 y el de la fricción cinética de 0.4.

 

Algunos valores aproximados de coeficientes de fricción cinética se muestran en la columna derecha de la siguiente tabla.

El coeficiente de fricción es una medida empírica: debe medirse experimentalmente y no se puede encontrar a través de cálculos. Las superficies más rugosas tienden a tener valores efectivos más altos.

 

6.3 Ejemplos de fricción cinética

Ejemplo 1.  Se quiere averiguar cuál es el coeficiente de fricción cinética entre un objeto A y el piso B. Con un golpe se le propina una velocidad inicial al objeto que se desliza sobre el piso horizontal, hasta que finalmente llega al reposo. El objeto recorre una distancia de d = 3.0 m en t = 1.0 s. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética entre el objeto y el piso?

El diagrama de cuerpo libre para el objeto se presenta en la figura de la derecha. Exigir que se cumpla la segunda ley de Newton en componentes cartesianas nos lleva a las siguientes dos ecuaciones ∑ Fx =  - fk = - ma    y   ∑ Fy =  N - mg = 0. Además, tenemos la expresión que describe cómo se comporta la fuerza de fricción cinética fk  =  N μk. Trataremos de combinar algebraicamente estas tres expresiones para obtener el coeficiente de fricción. De la primera ecuación despejamos fs  y de la segunda la magnitud de la normal, posteriormente substituimos los resultados en la tercera y queda ma  =   μk mg, simplificando y despejando al coeficiente nos deja μk  =  a /g. Pero si no conocemos la magnitud de la aceleración no podremos conocer el valor del coeficiente. Sin embargo podemos calcularla de los datos que nos dan del tiempo y la distancia recorrida, si recordamos lo que vimos en cinemática del movimiento con aceleración constante. Las ecuaciones vx = vix + ax t         y         Δx = vix t + ½  ax t2 representan un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ax y t, combinándolas algebraicamente debemos poder resolver para la aceleración. Tomando en cuenta que la velocidad final es cero, podemos despejar vix de la primera y substituir en la segunda Δx = - ax t2  + ½  ax t2  => Δx = - ½ ax t2, de aquí despejamos a la aceleración ax = - 2 Δx / t2, pero Δx no es otra cosa que d y la componente x de la aceleración es - a, entonces a = 2 d / t2 = 6.0 m/s2. Con la aceleración conocida ya se puede calcular el coeficiente μk  =  a /g  = 0.61.

 

Ejemplo 2.  (a) Se desliza un objeto cuesta abajo de un plano inclinado con un ángulo θ respecto de la horizontal, el coeficiente de fricción cinética es μ_k. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración? (b) Se desliza un objeto cuesta arriba del mismo plano inclinado. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración? (c) ¿Cómo se comparan ambas?

Los diagramas de cuerpo libre para ambos casos se muestran a continuación. La dirección de la fuerza de fricción cinética siempre va en sentido contrario del movimiento del objeto. (a) La segunda ley de Newton en componentes cartesianas nos deja estas dos ecuaciones ∑ Fx = mg sen θ - fk = ma    y   ∑ Fy =  N - mg cos θ  = 0. Además, tenemos la expresión que describe cómo se comporta la fuerza de fricción cinética fk  =  N μk. Combinando algebraicamente las tres ecuaciones debemos poder encontrar la magnitud de la aceleración. De la primera despejamos fk, de la segunda N y luego substituimos esto en la tercera mg sen θ - ma =  μk mg cos θ. Ahora despejemos a la aceleración a = g (sen θ - μk cos θ). (b) Cuando se desliza cuesta arriba la segunda ley de Newton deja ∑ Fx = mg sen θ + fk = ma    y   ∑ Fy =  N - mg cos θ  = 0. Combinando estas dos ecuaciones con la que describe el comportamiento de la fuerza de fricción cinética y luego despejando la aceleración queda a = g (sen θ + μk cos θ). (c) Comparando ambas aceleraciones, se notan parecidos y diferencias. En común tienen que sus vectores siempre apuntan cuesta abajo, aunque la velocidad vaya cuesta arriba. La diferencia es que la magnitud de la primera es menor que la de la segunda. Si el coeficiente de fricción se anula, que sería el caso sin fricción ya visto en la sección anterior, regresamos al resultado a = g sen θ, que no cambia ya sea que el objeto suba o baje.