7 Trabajo y Energía

Tabla de Contenidos

• 7.1 Trabajo de fuerzas constantes y producto escalar, ejemplos
• 7.2 Trabajo de fuerzas variables y resortes
• 7.3 Ejemplos con resortes y trabajo de fuerzas variables
• 7.4 Teorema Trabajo-Energía, ejemplos
• 7.5 Potencia y ejemplos
• 7.6 Ejercicios

 

7.1 Trabajo de fuerzas constantes y producto escalar, ejemplos  

 El trabajo mecánico hecho por una fuerza sobre un objeto se define como el producto de la magnitud del desplazamiento del objeto por la componente de la fuerza que va en la dirección de ese desplazamiento. El trabajo es una cantidad escalar, se representa generalmente con el símbolo w y las unidades del sistema internacional para esta cantidad física son los joules, esta unidad se abrevia con la letra "J" y se entiende que J = m∙N.

Por otro lado, el producto escalar (o producto punto) entre dos vectores A y B se define como el producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo que los separa:

A ∙ B = AB cos θ_AB.

Esta definición se puede interpretar geométricamente: el producto escalar A ∙ B es el resultado de multiplicar la magnitud de A por la componente de B sobre la dirección del vector A y si intercambiamos a A por B en el enunciado anterior la afirmación también es válida, es decir, el producto escalar es conmutativo. El producto escalar nos permite escribir la definición de trabajo para fuerzas constantes y movimiento en línea recta como sigue:

w = F∙Δr.

El producto escalar A ∙ B se puede escribir explícitamente en coordenadas polares de la siguiente manera

A ∙ B = AB cos (θ_A - θ_B).

Se debe notar que, debido a que el coseno es una función par, intercambiar a A por B no altera la expresión. También se debe resaltar que el producto escalar es negativo si el ángulo entre los dos vectores es mayor a 90°.

Empleando la identidad trigonométrica

cos (θ_A - θ_B) = cos θ_A cos θ_B + sen θ_A sen θ_B

se puede demostrar que, en dos dimensiones y en coordenadas cartesianas, el producto escalar se puede escribir

A ∙ B = A_xB_x + A_yB_y.

No es difícil generalizar a tres dimensiones el resultado anterior

A ∙ B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.

Ejemplo 1.  Un trabajador de limpieza se desplaza sobre el piso horizontal jalando una aspiradora como muestra la figura. Se desplaza una distancia de d = 5.0 m, la magnitud de la fuerza que ejerce el trabajador es de P = 40 N y el ángulo que hace esta fuerza con la horizontal es θ = 35°. (a) ¿Cuánto trabajo desarrolla el trabajador sobre la aspiradora? (b) ¿cuánto la fuerza de gravedad? (c) ¿y la fuerza normal?

(a) El desplazamiento por la componente en su dirección de la fuerza P es:  w = d P cos θ = 164 J. (b) Tanto la fuerza de gravedad como (c) la normal no tienen componente en la dirección del movimiento de la aspiradora, de modo que no hacen trabajo.

 

Ejemplo 2.  Un bloque de hielo de m = 47.2 kg se desliza cuesta abajo por un plano inclinado de d = 1.62 m de longitud y h = 0.902 m de altura. Un obrero lo jala paralelo al plano de modo que se deslice con velocidad constante. El coeficiente de fricción cinética entre el hielo y el plano inclinado es de μ_k = 0.110. Halla (a) la fuerza P que ejerce el obrero, (b) el trabajo efectuado por el obrero sobre el bloque de hielo,  (c) el trabajo efectuado por la gravedad sobre el hielo, (d) por la fuerza de fricción y (e) finalmente el que hace la fuerza normal.

 

(a) El diagrama de cuerpo libre para el bloque de hielo es el siguiente: La segunda ley de Newton en ambas componentes cartesianas queda: mg sen θ - fk - P = 0    y     N - mg cos θ  = 0. y con la ecuación que describe el comportamiento de la fuerza de fricción cinética fk  = N μk, tenemos un sistema de tres ecuaciones. Despejando fk de la primera ecuación, N de la segunda y substituyendo en la tercera queda mg sen θ - P = μk mg cos θ, y despejando P se obtiene P = mg (sen θ - μk cos θ). Queda pendiente escribir sen θ y cos θ en términos de las cantidades conocidas que son h y d: sen θ = h/d =  0.557               y          cos θ = √ (1 - (h/d)2) =  0.831, finalmente P =  215 N. (b) La fuerza P y el desplazamiento están sobre la misma línea pero tienen sentidos contrarios de modo que el trabajo hecho por el obrero es negativo: wobrero = - (215 N) (1.62 m) = - 348 J. (c) La componente de la fuerza de gravedad en la dirección del desplazamiento es mg sen θ = 258 N que multiplicada por la magnitud del desplazamiento d queda wgravedad = (258 N) (1.62 m) = 417 J. (d) La magnitud de la fuerza de fricción es fk  = N μk = 42.2 N y también apunta en sentido contrario del desplazamiento por lo que wfricción = - (42.2 N) (1.62 m) = - 68.4 J. (e) La fuerza normal y el desplazamiento son perpendiculares, no hay componente de esta fuerza en la dirección del desplazamiento por lo que la normal no hace trabajo sobre el bloque.

 

Ejemplo 3.  Sean dos vectores A = 4 i - j + 3 k    y   B = - i - j + 2 k . (a) Hallar el valor del producto escalar A ∙ B. (b) Encontrar el ángulo entre los dos vectores.

(a) A ∙ B = - 4 + 1 + 6 = 3. (b) La magnitud de A es A = √(16 + 1 + 9) = 5.10, la magnitud de B = √(1 + 1 + 4) = 2.45. Por la definición del producto escalar entre dos vectores, dividiendo el resultado del producto escalar entre el producto de las magnitudes debe ser igual al coseno del ángulo que separa a ambos vectores, de modo que  cos θ = 3/[(5.10)(2.45)]   =>   θ = 76.1°.

 

Ejemplo 4.  Supongamos tres planos inclinados, todos con la misma altura h, pero cada uno con un ángulo de inclinación distinto, de modo que sus longitudes sean distintas también: d₁, d₂ y d₃. Despreciando la fricción ¿cuánto trabajo se requiere para subir a velocidad constante un bloque de masa m por toda la longitud del plano? Halla el resultado para cada uno de los tres casos.

Para los tres casos nos sirve el mismo diagrama de cuerpo libre. De los dos esquemas se puede ver, por trigonometría, que sen θ = h/d  y   cos θ = √[1 - (h/d)2]. Exigir que se cumpla la segunda ley de Newton nos deja las siguientes ecuaciones P - mg sen θ = 0      y    N - mg cos θ = 0. De la primera se obtiene P = mg sen θ . Para calcular el trabajo necesitamos multiplicar el desplazamiento por la componente de la fuerza en su dirección, lo que nos deja w = d mg sen θ. Se puede simplificar la expresión anterior para escribir el resultado en términos de h y d w = d mg (h/d) = mgh, ¡pero este último resultado no depende del ángulo de inclinación! sólo depende de la altura del plano. Despreciando la fricción, si en los tres casos es el mismo bloque el que se sube (o si tiene la misma masa), el trabajo es el mismo dado que todos tienen la misma altura.

 

7.2 Trabajo de fuerzas variables y resortes

 

Fuerzas variables. La definición de trabajo en la sección anterior es válida para fuerzas constantes y movimiento en línea recta, pero la definición de esta cantidad física se puede generalizar a fuerzas que varíen con la posición y para movimiento en dos o tres dimensiones. Para mostrar como se llega a tal generalización, comencemos por imaginar una fuerza que varíe de forma muy simple, actuando sobre un objeto que avanza sólo en una dimensión (a lo largo del eje x). Sea esta fuerza como lo indica la figura, a lo largo de la distancia entre x₀ y x₁, la fuerza es constante e igual a F_i, luego hay una variación súbita y ahora, a lo largo de la distancia entre x₁ y x₂, la fuerza es igual a F_f. Aunque la fuerza no es estrictamente constante a lo largo de todo el camino, podemos subdividir el movimiento en dos etapas en las que la fuerza sí es constante y afirmar que el trabajo total es simplemente

                          w = (x₁ - x₀) F_i + (x₂ - x₁) F_f

resultado que coincide con el área encerrada entre la gráfica de la fuerza y el eje x. Atreviéndonos un poco más, podemos pensar en una fuerza que varíe algo más que nuestro primer ejemplo, ahora con más etapas, de cualquier manera el trabajo total será la suma

w = ∑_i  (x_i+1 - x_i) F_i,

resultado que nuevamente coincide con el área encerrada. Aunque sigamos agregando complejidad a la variación de la fuerza que actúa sobre el objeto, pensando en una fuerza

parecida a la de la tercera figura, el trabajo total nuevamente coincidirá con el área encerrada. Siguiendo esa línea de pensamiento podemos emplear el cálculo infinitesimal y concluir que el trabajo, de manera más general, se puede definir con una integral

Claro, lo anterior es para una sola dimensión, pero se puede generalizar la definición también a más de una dimensión

y abreviando la notación

Resortes ideales. Hasta ahora habíamos involucrado solo fuerzas constantes en nuestro curso de mecánica elemental, pero ahora queremos involucrar ejemplos en los que la fuerza que varíe con la posición. Un dispositivo mecánico que nos ofrece una fuerza que varía con la posición de manera muy simple es el resorte. Un resorte ideal es aquél que no tiene masa, no se rompe o lastima permanentemente, se puede estirar o comprimir indefinidamente si se cuanta con la fuerza necesaria para hacerlo y obedece siempre la ley de Hooke.

 

Un resorte ideal ejerce una fuerza sobre aquel objeto que esté unido o apoyado en él que es proporcional a su deformación. Si unimos un objeto a un resorte horizontal como indica la figura, estableciendo un sistema de referencia tal que el origen esté en la posición del objeto cuando el resorte está relajado, la fuerza que hace el resorte sobre el objeto será:

F_r = - k x,

expresión conocida como la ley de Hooke. El símbolo x representa la posición del objeto, pero dada la elección del sistema de referencia, esa posición es también una medida de la deformación del resorte. Se debe notar que, en estas condiciones, la fuerza de restauración del resorte siempre se dirige en sentido contrario a el vector de posición y que justo en x = 0 el objeto está en equilibrio, es decir, la fuerza neta se anula. Al símbolo k se le llama la constante del resorte y depende de la rigidez de éste, entre más rígido sea, mayor será el valor de k. Un resorte típico para suspensión de vehículos tiene una constante de aproximadamente 20 000 N/m mientras que un resorte de bolígrafo 500 N/m. El valor de la constante del resorte en unidades del sistema internacional nos dice cuántos newtons nos aporta el resorte por metro de deformación que sufre. Puede llegar a ser conveniente convertir esos valores a newtons sobre centímetro ya que, comúnmente, los resortes se deforman distancias del orden de centímetros o milímetros, no de metros.

Siendo conocido el comportamiento del resorte, podemos encontrar el trabajo que hace sobre objetos unidos o apoyados sobre él. La gráfica de la fuerza que ejerce un resorte debido a su deformación como función de la posicione es la siguiente:

Dado que la fuerza es una función lineal de la posición, la gráfica es la de una línea recta y la pendiente debe de ser negativa, - k según la ley de Hooke. El trabajo realizado por la fuerza del resorte es

llevando a cabo la integral se encuentra que

w_r = ½ k (x_i²-x_f²).

El signo de ese trabajo puede ser positivo o negativo, el signo nos dice si la fuerza a actuado en favor o en contra de la dirección del movimiento del objeto. Cuando el vector de la fuerza apunta en sentido contrario al del movimiento del objeto, el trabajo que hace es negativo y si apunta en el mismo sentido es positivo.

7.3 Ejemplos con resortes y trabajo de fuerzas variables

 

Ejemplo 1.  En el puesto que venden verduras tienen una báscula de resorte parecida a la que se muestra, al poner unos tomates en la charola, el sistema empieza oscilar aunque rápidamente llega al reposo y equilibrio. Una vez llega al reposo y equilibrio, se observa que el resorte se ha estirado unos 10 cm y la aguja marca 1.50 kilos. Suponiendo que la báscula está bien calibrada. ¿Cuál es la constante k del resorte?

El diagrama de cuerpo libre para el objeto, que en este caso son los tomates, es el de la izquierda. Exigir que se cumpla la segunda ley de Newton se resume a Fr - mg = 0, pero la fuerza del resorte obedece la ley de Hooke Fr = - k y, donde hemos empleado la "y" en vez de "x" pues la dirección relevante es la vertical. Combinando las dos ecuaciones queda k = - mg/y, donde y = - 0.10 m, por lo que k = 147 N/m.

 

Ejemplo 2.  La fuerza que actúa sobre una partícula varía como indica la figura. Encuentra el trabajo realizado por la fuerza sobre la partícula cuando se mueve (a) de x = 0.00 m a x = 8.00 m, (b) de x = 8.00 m a x = 10.0 m, y (c)  de x = 0.00 m a x = 12.0m. Si ahora la partícula se está moviendo en sentido contrario, desde x = 4.00 m hasta x = 0.00 m, (d) ¿cuál es el trabajo que realiza la fuerza.

 

Calculando las áreas con la fórmula del triángulo (base x altura sobre 2) y considerando los signos correctos, comparando las direcciones de la fuerza y del desplazamiento, se obtiene (a) wa = 24.0 J, (b) wb = -3.00 J, (c) wc = 18.0 J, (a) wd = -12.0 J.

 

Ejemplo 3.  Las suspensiones de camiones de carga consisten en muelles de hoja, que son láminas de hierro sobrepuestas y actúan como un resorte. En algunos casos estas suspensiones tienen "resortes auxiliares" que entran en operación cuando la carga es muy grande. Un esquema que muestra el sistema descrito se puede ver abajo.

 

El resorte auxiliar entra en operación cuando el principal se comprime una distancia d y entonces ayuda a sostener la carga adicional. Considera una constante k_p = 5.25 × 10⁵ N/m para el resorte principal,  k_a = 3.60 × 10⁵ N/m para el resorte auxiliar y una distancia d = 0.500 m. (a) ¿Cuál es la compresión del resorte principal para un carga efectiva sobre el eje de 5.00 × 10⁵ N? (b) ¿Cuál es la compresión del resorte auxiliar para esta carga? (c) ¿Cuánto trabajo realiza el sistema de los dos resortes al comprimirse por esta carga?

El diagrama de cuerpo libre se presenta en la figura. Suponemos reposo y equilibrio ya que el texto de la pregunta no sugiere que el camión esté oscilando cuando se mide la compresión que reporta. También suponemos inicialmente que los dos resortes están actuando en conjunto si tenemos la carga reportada. La segunda ley de Newton nos deja la siguiente ecuación Frp + Fra - mg = 0 La ley de Hooke para ambos resortes nos deja otras dos ecuaciones: Frp = - kp yp   y    Fra = - ka ya, donde yp y ya son las deformaciones de los dos resortes y dada la configuración sabemos que ya - yp = d. Con estas cuatro ecuaciones tenemos un sistema de cuatro ecuaciones lineales e independientes y cuatro incógnitas (yp, ya, Frp y Fra), realizando operaciones algebraicas debemos de poder resolverlo. Substituyendo la segunda y tercera en la primera queda mg = - kp yp - ka ya, ahora substituyendo la última mg = - kp yp - ka(yp + d), (a) despejando yp queda yp = - (mg + ka d) / (kp + ka) = - 0.768 m. Este resultado confirma que los dos resortes están siendo comprimidos, dado que tiene un valor absoluto mayor a d. (b) La diferencia de la compresión entre ambos resortes es d,  entonces podemos decir que  ya = - 0. 268 m. (c) El trabajo de los resortes está dado por la fórmula wr = ½ k (xi2-xf2), aplicándola a ambos: wrp = ½ kp (yip2 - yfp2) = - 1.55 × 105 J wra = ½ ka (yia2 - yfa2) = - 1.29 × 104 J y, por lo tanto el trabajo neto es wneto = - 1.68 × 105 J.

  

7.4 Teorema Trabajo-Energía, ejemplos

 Comencemos  con la definición de trabajo para una fuerza variable en una dimensión, y sea ésta la fuerza neta

ahora escribamos la fuerza neta como el producto de la masa por la aceleración

y la aceleración como como la derivada de la velocidad en el tiempo

apliquemos la regla de la cadena y luego integremos

Al la cantidad E_k =  ½ m v² se le conoce como energía cinética, así que la expresión anterior nos dice que el trabajo neto hecho sobre un objeto es igual al cambio de energía cinética de éste:

a esta afirmación se le conoce como el teorema trabajo-energía y permite resolver algunos problemas de mecánica de manera más simple que emplear explícitamente la segunda ley de Newton. Aquí se demostró la validez del teorema trabajo-energía para el caso unidimensional pero es igualmente válido para dos y tres dimensiones.

Ejemplo 1.  El mecanismo de lanzamiento de un rifle de juguete consta de un resorte de constante k = 500 N/m, el proyectil que lanza es una canica de 20 gramos. Se coloca el rifle en posición vertical,  se comprime el resorte una distancia d = 12 cm y se dispara. Desprecie cualquier fricción  (a) ¿Qué trabajo hace el resorte sobre la canica? (b) ¿Qué altura máxima alcanza la canica sobre su posición más baja? (c) ¿Que trabajo realiza la gravedad sobre la canica?

(a) El trabajo hecho por un resorte está dado por  wr = ½ k (yi2 - yf2). En este caso yi = - 0.12 m, yf = 0.00 m  y k = 500 N/m,  por lo que wr = 3.6 J. Aquí el trabajo que hace el resorte sobre la canica es positivo ya que el movimiento de la canica va en el mismo sentido que la fuerza que le ejerce el resorte.  (b) El trabajo hecho por la gravedad sobre la canica, mientras ésta sube hasta llegar a su altura máxima, es wg = - mgh, donde h es la altura cuyo valor queremos encontrar. La energía cinética inicial es nula, pues la canica parte del reposo antes de que el resorte y la gravedad hagan trabajo sobre ella. La energía cinética final de la canica también es nula, pues justo cuando alcanza su altura máxima, está en reposo momentáneo. Por lo tanto, la diferencia de energía cinética entre la inicial y la final es cero. El teorema trabajo-energía nos dice que la suma de los trabajos hechos sobre el objeto es igual al cambio en su energía cinética, es decir wr + wg = Δ Ek  =>  ½ k (yi2 - yf2) - mgh = 0 y despejando h queda h = ½ k (yi2 - yf2)/ (mg) = 18.4 m. (c) Conociendo la altura que alcanza la canica, ya se puede evaluar numéricamente el trabajo hecho por la gravedad wg = - mgh = 3.61 J

 

Ejemplo 2.  Una flecha de masa m = 88.0 g se dispara con un arco, la cuerda del arco ejerce una fuerza de 220 N sobre la flecha cuando ésta se jala una distancia d = 78.0 cm. Suponga que el sistema arco-cuerda actúa como un resorte ideal y desprecie los efectos de la fricción. (a) Calcula el trabajo realizado por el sistema arco-cuerda al disparar la flecha, bajo esas condiciones. (b) ¿Con qué rapidez sale disparada la flecha del arco, si se acciona en posición horizontal? (c) Calcula el trabajo desarrollado por la gravedad mientras se está disparando la flecha en posición vertical. (d) ¿Con qué rapidez sale disparada la flecha del arco, si se acciona en posición vertical?

 

La constante de Hooke asociada al sistema arco-cuerda es la fuerza por unidad de distancia de deformación que nos aporta y ésta, según los datos debe ser: k = 220 N / 0.78 m = 282 N/m. (a) El trabajo que realiza el sistema arco-cuerda sobre la flecha es wr = ½ k (xi2 - xf2), como  xf  = 0.00 m y xi = - 0.78 m,  wr = 85.8 J. (b) Según el teorema trabajo-energía wr  = Δ Ek  =>  ½ k (xi2 - xf2) = ½ m (vf2 - vi2), como vi = 0, se puede despejar  vf vf = √ (k/m  xi2) = 44.2 m/s (c) El trabajo que hace  la gravedad sobre la flecha al desplazarse ésta verticalmente, mientras la flecha está siendo disparada por el arco, es wg = - mgd = - 0.673 J. (d) Nuevamente el teorema trabajo-energía nos dice  wr  + wg = Δ Ek  =>  ½ k (xi2 - xf2) - mgd  =  ½ m (vf2 - vi2), al despejar vf  se obtiene vf = √ (k/m xi2 - 2gd) = 44.0 m/s

7.5 Potencia y ejemplos

 Potencia es la razón a la cual se administra trabajo sobre un objeto por unidad de tiempo

P = dw/dt.

Empleando la regla de la cadena

P = (dw/dx) (dx/dt),

pero la cantidad dentro del segundo paréntesis es la componente x de la velocidad, mientras que por el teorema fundamental del cálculo dw/dx = F_x, entonces

P = F_x  v_x.

Así vemos que la potencia también se puede escribir como el producto de la fuerza por la velocidad, para dos y tres dimensiones se trata de un producto escalar

P = F∙v.

La potencia es una cantidad escalar, las unidades del sistema internacional correspondientes son los watts que se representan con la letra "W", 1W = J/s. La unidad del sistema inglés  para la potencia es el "caballo de fuerza", unidad abreviada con las siglas "hp". Un caballo de fuerza son aproximadamente 745.7 W.

Ejemplo 1.  Un caballo jala de una carreta con una fuerza de 45.0 lb a un ángulo de θ = 30° con la horizontal y se mueve con una velocidad constante de magnitud 6.50 MPH. (a) ¿Qué potencia desarrolla el caballo sobre la carreta? Escribe tu respuesta en watts y en caballos de fuerza. (b) ¿Qué trabajo efectúa el caballo en 15 minutos si mantiene esas condiciones?

Haciendo las conversiones al sistema internacional de las cantidades involucradas quedan:  45.0 lb = 200 N,  6.70 MPH = 3.00 m/s, 15 min = 900 s. (a) El producto escalar de la fuerza por la velocidad es P = F∙v = 520 W, lo que en caballos de fuerza es P = 0.697 hp (comparable con la potencia de una bomba doméstica para subir agua). (b) A ese ritmo constante, el trabajo que haría en 12 min sería w = (520W)×(900s) = 4.68 ×105 J = 468 kJ. Para tener una idea de cuánta energía se trata en un contexto biológico, en la página https://www.fatsecret.com.mx/calor%C3%ADas-nutrici%C3%B3n/marinela/gansito/1-pieza podemos ver el valor nutricional de un "gansito Marinela", una porción equivale a 820 kJ, o bien 196 kcal. Vale la pena notar una convención que causa mucha confusión, en la página mencionada, del lado izquierdo se observa claramente la anotación de 196 kcal, sin embargo en el texto de la derecha está escrita la cantidad 196 cals. En los valores nutricionales de los alimentos se suele usar "cals" por "kcal", lo que produce confusión entre las calorías y las kilocalorías.

Ejemplo 2.  Un joven militar, de 700 N de peso, durante su entrenamiento sube por una cuerda de 10 m de altura y lo hace a velocidad constante, en un tiempo de 8 s. (a) ¿Qué potencia promedio desarrolla? (b) ¿Cuánto trabajo hace?

(a) El producto de la fuerza con la velocidad promedio es P = 875 W. (b) En un tiempo de 8 s se habrán desarrollado 7 000 J de trabajo.