8 Conservación de la energía

Tabla de Contenidos

• 8.1 Energía cinética y potencial
• 8.2 Conservación de la energía
• 8.3 Ejemplos

 

8.1 Energía cinética y potencial 

 

Energía cinética. En física, la energía cinética de una partícula E_k = ½ mv²   es la energía que posee un objeto debido a su movimiento, se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo desde el reposo hasta su velocidad establecida. La energía cinética es un escalar.

El cambio de la energía potencial. La diferencia de energía potencial se define como el negativo del trabajo realizado por una fuerza conservativa

ΔU = - w_conservativo.

Pero ¿qué es una fuerza conservativa?

Fuerzas conservativas. Una fuerza conservativa es aquella que, cuando actúa sobre un objeto haciendo trabajo y ese objeto, después de un intervalo tiempo, regresa al mismo punto de partida, el trabajo neto resulta nulo, necesariamente. Una consecuencia de esto es que el trabajo hecho por este tipo de fuerzas dependerá de las posiciones inicial y final, no de la trayectoria.  Quizá se entienda mejor esta definición con los ejemplos que a continuación se presentan.

  

Fuerza de gravedad. Preguntémonos cuál es el trabajo que hace la gravedad sobre un objeto después de que lo lanzamos con una velocidad inicial verticalmente hacia arriba,  el objeto sube y luego baja, regresando a nuestra mano, a su posición inicial.

En su camino hacia arriba, el trabajo hecho sobre el objeto por la gravedad es  la magnitud de la fuerza, por la del desplazamiento y por el coseno del ángulo entre los dos vectores. Dado que los dos vectores apuntan en sentido contrario y que cos 180° = - 1, el trabajo al subir es w_subir = - mgh. En el camino de regreso del objeto, cuando va hacia abajo, los dos vectores que se deben multiplicar están en el mismo sentido por lo que w_bajar = mgh.

Si sumamos los trabajos para obtener el trabajo neto después del viaje redondo obtenemos

w_{viaje redondo} = 0.

No importa cuál sea la altura, o la masa del objeto, el trabajo neto hecho por la gravedad sobre un objeto que a merced de ella hace un viaje redondo, siempre será cero. La gravedad es, por lo tanto, una fuerza conservativa. Siendo así, le podemos asignar una energía potencial a la gravedad.  Antes, debemos recordar que el trabajo que hace la gravedad es - mgh.

El trabajo que hace la gravedad sobre el objeto es el resultado del producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento, es decir:

 w_g = mgd cos (θ + 90°) = mgd (cos θ  cos 90° - sen θ  sen 90°) = - mg (d sen 90°) = - mgh

Este resultado no depende de la inclinación del plano. Si el cambio en la energía potencial debe de ser el negativo del trabajo hecho, una buena propuesta para definir energía potencial gravitacional es

U_g = mgy,

dado que ΔU = mg (y_f - y_i) = - w_g, aquí el eje y está estrictamente sobre la vertical.

Fuerza del resorte. El simple hecho de que el trabajo hecho por un resorte sobre un objeto se pueda escribir siempre en términos de las posiciones inicial y final, w_r = ½ k (x_i² - x_f²), nos dice que, si un objeto parte de una posición y luego regresa a ésta misma a merced de la fuerza del resorte, el trabajo total sobre el objeto se anula. Pueden estar actuando otras fuerzas, como el peso y la normal, pero no deben hacer trabajo pues aquí queremos clasificar exclusivamente a la fuerza del resorte.

Se puede ver la animación original del resorte oscilando en https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d5/Animated-mass-spring-faster.gif

Veamos este asunto con más detenimiento, dividiendo el viaje del objeto en cuatro etapas: (1) Comenzando con el resorte comprimido y el objeto en la posición x = - A, al desplazarse éste hasta la posición x =  0, la fuerza y el desplazamiento van en el mismo sentido por lo que el trabajo es w₁ =  ½ k A² . (2) Del origen hasta x = A, la fuerza y el desplazamiento van en sentido contrario de modo que w₂ = - ½ k A². (3) Regresando desde A hasta el origen, fuerza y desplazamiento están en el mismo sentido, por lo que w₃ =  ½ k A². (4) Finalmente partiendo del origen y llegando a x = - A, el trabajo es negativo w4 = - ½ k A². Si se suman las cuatro cantidades, w₁ + w₂ + w₃ + w₄ = 0, el resultado es cero.

 

Efectivamente la fuerza del resorte es conservativa. Siendo así, le podemos asignar una energía potencial a la gravedad. Si el cambio en la energía potencial debe de ser el negativo del trabajo hecho, una buena propuesta para definir energía potencial resorte es

U_r = ½ kx²,

dado que ΔU = ½ k (x_f² - x_i²) = - w_r. Debemos recordar aquí que el trabajo que hace un resorte es w_r = ½ k (x_i² - x_f²).

 Fuerza de fricción cinética. Para lograr un viaje de ida y vuelta en el que sólo la fuerza de fricción cinética haga trabajo podemos pensar en un experimento como el siguiente: Sobre una mesa atamos un cordel a un clavo que fijamos en su centro. En el otro extremo del cordel le unimos un objeto que se pueda deslizar sobre la superficie de la mesa. Le damos un golpe inicial al objeto para que siga una trayectoria circular. Podemos dejar que de más de una vuelta, pero a nosotros nos interesará una de ellas nada más. Conforme el tiempo pasa, el objeto perderá rapidez debido a la fricción, hasta que se detendrá por completo.

 Dado que la fuerza de fricción cinética siempre se opone a la dirección del movimiento el trabajo que hace la fuerza de fricción sobre el objeto siempre es w_f= - d f_k = - d N μ_k, donde d es la longitud de trayectoria recorrida. Después de una vuelta el trabajo será w_f = - 2π r N μ_k, lo importante de este resultado es que w_f ≠ 0 después de un viaje redondo. La fricción cinética no es conservativa, no se le puede asignar una energía potencial. Hay otras fuerzas actuando durante el experimento, están presentes la tensión, la gravedad y la normal, pero ninguna de éstas hace trabajo pues siempre son perpendiculares a la dirección del movimiento.

 

8.2 Conservación de la energía

 Retomemos el teorema trabajo energía: w_neto = ΔE_k  y escribámoslo en términos de la energía potencial. Para hacerlo consideremos primero que todas las fuerzas involucradas son conservativas y que por lo tanto su trabajo puede escribirse en términos de una diferencia de energía potencial  - w_conservativo = ΔU, entonces

-ΔU = ΔE_k   ==>  ΔU + ΔE_k = 0  ==> Δ(U + E_k) = 0.

La última ecuación nos dice que la diferencia de la cantidad que está entre paréntesis es cero, es decir, la cantidad que está entre paréntesis no cambia. A esta cantidad que no cambia  E_mec = U + E_k  se le llama energía mecánica. La ecuación

Δ E_mec = Δ(U + E_k) = 0

expresa la llamada ley conservación de la energía mecánica. Cuando actúan solamente fuerzas conservativas, puede haber intercambio entre las energías potenciales y la energía cinética pero la suma de todas es constante.

La energía potencial almacenada en la deformación de la resortera se convierte en energía cinética del objeto lanzado.

Si también actúan fuerzas no conservativas, podemos escribir al trabajo neto en dos partes, la parte conservativa y la no conservativa w_neto = w_cons.  + w_{no cons.}. Así, de manera más general se puede escribir

Δ E_mec = Δ(U + E_k) = w_{no cons,}

y en este caso no se conserva la energía mecánica, lo que suele ocurrir es que esta energía mecánica perdida se transforma en calor. Un buen ejemplo de esto es cuando frotamos nuestras manos para generar calor en un día frío de invierno.

 

8.3 Ejemplos

 Ejemplo 1. Un bloque de m = 0.80 kg lleva una velocidad de v_i = 2.3 m/s. Se desliza sobre una superficie sin fricción e impacta con un resorte de k = 50 N/m. Calcula la máxima compresión después de la colisión.

Al no haber fricción se conserva la energía mecánica. La fuerza que hace trabajo es sólo la del resorte. La energía mecánica inicial, justo en el instante en que entran en contacto el bloque y el resorte, es solamente cinética Ei = ½ mvi2. La energía final, cuando el resorte está más comprimido, es sólo potencial pues en ese instante el objeto está en reposo Ef = ½ k xf2 . Como la energía se conserva Ei = Ef, ésto implica: ½ mvi2 =  ½ k xf2, despejando a xf xf = √(m/ k) vi = 0.29 m

 

Ejemplo 2. Un flujo piroclástico, producto de una erupción volcánica, se mueve a lo largo de un terreno horizontal hasta que se encuentra una cuesta que se eleva con una pendiente de 10°. SE observa que avanza una distancia de 980 m por la pendiente antes de llegar al reposo. Los flujos piroclásticos son una mezcla de gases volcánicos calientes y materiales sólidos que se mueve, prácticamente sin fricción a nivel del suelo. ¿Qué rapidez llevaba el flujo antes de subir por la pendiente?

Liga a un video que muestra como bajan flujos piroclásticos por la pendiente del volcán que los produjo:  https://www.youtube.com/watch?v=GUdqQR0N2q4

Comencemos hacer una gran simplificación y suponer que podemos considerar a estos flujos como objetos que se deslizan sin fricción por una pendiente, en este caso, la fuerza que hace trabajo es la de la gravedad, la normal no hace trabajo y se desprecia a la fricción. Establezcamos un sistema de referencia tal que el cero del eje vertical esté a la altura del terreno horizontal. En el terreno horizontal previo a la pendiente, la energía del flujo es cinética y al final, cuando se detiene es sólo potencial: Ei = ½ mvi2       y        Ef = mgyf . Como no se pierde energía Ei = Ef, por lo que ½ mvi2 = mgyf y despejando a vi se obtiene vi = √ (2gyf). La altura final yf se puede inferir por trigonometría, es el cateto opuesto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es de 980 m y cuyo ángulo conocido es de 10°, de modo que yf = 170 m. Ahora ya podemos calcular la rapidez inicial vi = 57.7 m/s, es decir ¡más de 200 km/h!

Ejemplo 3. Un cubito de hielo muy pequeño cae desprendido desde el borde de un tazón semiesférico, sin fricción, cuyo radio es de R = 23.6 cm. (a) ¿Qué rapidez lleva el cubito en el fondo del tazón? (b) ¿Qué rapidez lleva cuando el ángulo con la vertical de su vector de posición es 63°?

En este caso la fuerza que hace trabajo es la de la gravedad. Nuevamente instalemos un sistema de referencia en el que el cero del eje vertical esté en la base del tazón, la posición más baja que alcanzará el objeto. (a) En el instante inicial, en el punto A, la energía es sólo potencial EA = mgR, en el punto B la energía es cinética EB = ½ mvB2. Como no hay fricción  EA = EB, es decir, mgR, =  ½ mvB2 despejando a vB se obtiene vB = √(2gR) = 2.15 m/s    (b)  En el punto C hay una combinación de energía cinética con potencial EC = ½ mvc2 + mgyc. Dado que, debido a la conservación de la energía,  EA = EC, mgR, =  ½ mvc2 + mgyc. Ahora debemos encontrar el valor de  yc para poder despejar y calcular  numéricamente a vc. Del esquema se puede ver que d = R sen 27°, de modo que yc = R - d = R (1 - sen 27°). Ahora despejando a vc de la ecuación que nos deja la conservación de la energía queda   vc = √(2gR sen 27°) = 1.45 m/s

Ejemplo 4. Un objeto de masa m inicia desde el reposo y se desliza una distancia d, por un plano que está inclinado un ángulo θ y con un coeficiente de fricción cinética μ_k hasta que hace contacto con un resorte inicialmente relajado. El objeto comprime al resorte, de constante k, una distancia l hasta detenerse. Si m = 0.5 kg, μ_k = 0.20, θ = 30°, k = 100 N/m y l = 15 cm ¿cuál debe ser el valor de la distancia d?

En este caso las fuerza que hacen trabajo son tres: la gravedad, el resorte y la fricción. Nuevamente instalemos un sistema de referencia en el que el cero del eje vertical esté en la posición más baja que alcanzará el objeto. La energía inicial es sólo energía potencial gravitacional del bloque Ei = mgh.

La energía cuando se ha comprimido al máximo el resorte es sólo energía potencial del resorte Ef = ½ k l2. La distancia h la podemos reescribir, usando trigonometría, como  h = (l + d) sen θ. El trabajo hecho por la fricción es - fk (l + d),  la magnitud de la fuerza de fricción es fk = N μk, y la fuerza normal que ejerce el plano sobre el objeto es N = mg cos θ, por lo que el trabajo de la fricción se puede escribir wfricción = - μk mg cos θ (l + d). La conservación de la energía indica que Ei = Ef  - wfricción, lo que se traduce en la siguiente ecuación mg(l + d) sen θ =  ½ k l2  + μk mg cos θ (l + d), y despejando a d queda