La paradoja del cumpleaños (y de los sismos)

 

 Ruth Diamant

Tabla de Contenidos

• 1. Número de posibilidades para los cumpleaños de un grupo de n personas.
• 2. Probabilidad de que, en un grupo de n personas, no se repita ningún cumpleaños.
• 3. Probabilidad de que, en un grupo de n personas, sólo un par de ellas comparta fecha de cumpleaños.
• 4. Probabilidad de que, en un grupo de n personas, al menos un par de ellas comparta fecha de cumpleaños.
• 5. Probabilidad de que, en un grupo de n personas, sólo dos pares de ellas compartan fecha de cumpleaños
• 6. Probabilidad de que, en un grupo de n personas, i pares de ellas compartan fecha de cumpleaños.
• 7. Probabilidad de que, en un grupo de n personas, las coincidencias en fecha de cumpleaños sean sólo por pares.
  
• 8. Probabilidad de que, en un grupo de n personas, coincidan al menos una tercia de ellos en la fecha de cumpleaños
• 9. Probabilidad de que, de un total de n sismos independientes (en alguna región geográfica), de más de cierto grado de magnitud, coincidan en la fecha del año al menos una tercia de ellos (no tiene que ser el mismo año).

1. Número de posibilidades para los cumpleaños de un grupo de n personas.

 Si se tira un dado 2 veces, los casos posibles que se pueden presentar son ${\#}_{dos dados}=6\times 6=6^2=36$. El número seis aparece aquí pues un dado tiene seis caras, el número 2 aparece en el exponente pues el dado se tira dos veces (o también se pueden lanzar dos dados al mismo tiempo). Estos casos están ilustrados en la figura 1.

Figura 1. Ilustración de los casos posibles que se pueden presentar al tirar un dado dos veces (o dos dados al mismo tiempo). Imagen tomada de http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/telesecundaria/tsa01g01v02/u01t09s02.html.

Si ahora se lanza el dado tres veces, los casos posibles se vuelven a multiplicar por seis de modo que ${\# }_{\mathrm{tre}s dados}=6\times 6\times 6=6^3=216$. Pensando de la misma manera, si se tiene un grupo de $n$ personas, en el que la probabilidad de que cumplan años en una u otra fecha sea independiente, el número de distintas posibilidades $N$ puede ser muy grande

$$\begin{array}{cc}N\left(n\right)=365\times 365\times 365\times \mathrm{...}\times 365=365^n,& (1)\end{array}$$

donde se ha despreciado la fecha 29 de febrero. Con un grupo de tan sólo tres personas, el número de posibilidades llega a casi a los 50 millones, exponer todas las posibilidades explícitamente no sería conveniente. Sin embargo se pueden hacer cálculos sin hacer explícitos todos los casos.

2 Probabilidad de que, en un grupo de $n$ personas, no se repita ningún cumpleaños.

En este grupo de $n$ personas, aquellos casos posibles que se pueden presentar en los que no se repite ninguna fecha son $$\begin{array}{cc}365\times 364\times 363\times \mathrm{...}\times \left[363-\left(n-1\right)\right]=\frac{365!}{\left[365-n\right]!},& (2)\end{array}$$que son todas las combinaciones que se pueden hacer con $n$ fechas distintas. La primera persona del grupo puede tener su cumpleaños en cualquier fecha, pero la segunda ya no puede coincidir, entonces sólo le quedan 364 posibilidades y así pasa con cada miembro subsecuente del grupo. La notación con el símbolo “!” representa el producto de un número natural por todos los precedentes, por ejemplo $4!=4\times 3\times 2\times 1$ y se le llama “factorial de cuatro”.

La probabilidad de que ocurran uno o varios resultados se calcula dividiendo el número de esos casos “favorables” entre el total de los casos posibles. Así, la probabilidad de que no haya ninguna coincidencia en fechas es simplemente la razón de estos casos favorables entre los totales (1) y es muy simple de expresar $$\begin{array}{cc}{p}_{non}\left(n\right)=\frac{\left(\frac{365!}{\left[365-n\right]!}\right)}{365^n}=\frac{365!}{365^n\left[365-n\right]!}\mathrm{.}& (3)\end{array}$$Este resultado así escrito es válido sólo para $n<366$, ya que los factoriales de números negativos no están definidos. Para $n>365$ simplemente la probabilidad se anula, pues siempre tendrán que coincidir en cumpleaños al menos un par de personas. Es ilustrativo graficar $p_{non}$como función del número de personas en el grupo $n$. La figura 2 muestra esta gráfica, tiene un máximo claro en $n=1$, allí la probabilidad es igual a la unidad. Cuando el grupo consta de una sola persona no hay posibilidad de coincidencias, cuando se va aumentando el número de personas en el grupo va disminuyendo la probabilidad de que no haya coincidencia alguna.

Figura 2. Probabilidad de que, en un grupo de $n$ personas, ninguna comparta fecha de cumpleaños $p_{non}\left(n\right)$. La gráfica tiene un máximo claro en $n=1$, allí la probabilidad es es igual a la unidad.

3 Probabilidad de que, en un grupo de $n$ personas, sólo un par de ellas comparta fecha de cumpleaños.

También se puede calcular la probabilidad de que haya una coincidencia y dos personas compartan la misma fecha. Como ejemplo pensemos en un grupo de cinco integrantes Pedro, Pablo, María, Juan y Claudia. Las posibilidades de parejas coincidentes son diez: Pedro - Pablo, Pedro - María, Pedro - Juan, Pedro - Claudia, Pablo - María, Pablo - Juan, Pablo - Claudia, María - Juan, María - Claudia y Juan - Claudia. Se ilustran las parejas posibles en la figura 3.

Figura 3. Las posibilidades de parejas coincidentes en un grupo de cinco personas.

Las posibilidades serían $5\times 5=25$, como las dimensiones del cuadro, pero hay que eliminar las combinaciones de cada persona con ella misma y las permutaciones equivalentes, por ejemplo “Pedro y María” es lo mismo que “María y Pedro”. La expresión que nos lleva a esas diez posibilidades válidas es $${\#}_{parejas posibles}=\left[\left(5\times 5\right)-5\right]/2=\frac{1}{2}\left(5\times 4\right)=10$$ y en general para $n$ personas, el número de resultados posibles es $$\begin{array}{cc}{C}_1\left(n\right)=\frac{1}{2}n\left(n-1\right)\mathrm{.}& (4)\end{array}$$Si en este grupo de $n$ personas sólo hay un par que coincide en fecha, en total debe haber $n-1$ fechas distintas. Similarmente a (eq:nFechasDistintas), las posibilidades de combinar $n-1$ fechas distintas, son $$\begin{array}{cc}365\times 364\times 363\times \mathrm{...}\times \left[363-\left(n-2\right)\right]=\frac{365!}{\left[365-\left(n-1\right)\right]!},& (5)\end{array}$$de modo que los casos posibles para una sola coincidencia en fecha son el producto de (4) y (5)$$Casos con una coincidencia=C_1\frac{365!}{\left[365-\left(n-1\right)\right]!}=\frac{1}{2}n\left(n-1\right)\frac{365!}{\left[365-\left(n-1\right)\right]!}\mathrm{.}$$La probabilidad correspondiente se calcula dividiendo estos casos favorables entre los casos totales posibles (1)$$p_1\left(n\right)=\frac{\frac{1}{2}n\left(n-1\right)\frac{365!}{\left[365-\left(n-1\right)\right]!}}{365^n}=\frac{n!365!}{2\left(365^n\right)\left(n-2\right)!\left[365-\left(n-1\right)\right]!}\mathrm{.}$$Este resultado así escrito es válido sólo para $n<367$, ya que los factoriales de números negativos no están definidos. Para $n>366$ simplemente la probabilidad se anula, pues siempre tendrán que coincidir en cumpleaños más de un par de personas. La figura 4 muestra la gráfica de $p_1$ como función del número de personas en el grupo $n$, tiene un máximo claro en $n=28$, allí la probabilidad es de $0.384$.

Figura 4. Probabilidad de que, en un grupo de $n$personas, sólo un par de ellas comparta fecha de cumpleaños $p_1\left(n\right)$. La gráfica tiene un máximo claro en $n=28$, allí la probabilidad es de $0.384$.

4 Probabilidad de que, en un grupo de $n$ personas, al menos un par de ellas comparta fecha de cumpleaños.

La probabilidad de que al menos un par del grupo coincida en fecha de cumpleaños es notablemente fácil de calcular, pues es simplemente la probabilidad del total de los casos, es decir la unidad, menos la probabilidad de que no haya ninguna coincidencia (3) $$p_{\ge 1}\left(n\right)=1-\frac{365!}{365^n\left[365-n\right]!}\mathrm{.}$$Ésto es así de simple pues la mínima de las coincidencias es un par. Este resultado así escrito es válido sólo para $n<366$, ya que los factoriales de números negativos no están definidos. Para $n>365$ la probabilidad es igual a la unidad, pues siempre tendrán que coincidir en cumpleaños dos o más personas. La figura 5 muestra la gráfica de $p_{\ge 1}$ como función del número de personas en el grupo $n$.

Figura 5. Probabilidad de que, en un grupo de $n$personas, al menos un par de ellas comparta fecha de cumpleaños $p_{\ge 1}\left(n\right)$.

El hecho sorprendente es que, tan sólo con 23 personas en el grupo, la probabilidad de que haya al menos una coincidencia ya llega a 0.5, es decir al 50 %. Es por esa razón que a este resultado se le llama “paradoja del cumpleaños”. Para un grupo de 57 personas la probabilidad de al menos una coincidencia llega al 99 %.

5 Probabilidad de que, en un grupo de $n$ personas, sólo dos pares de ellas compartan fecha de cumpleaños.

Las distintas maneras de combinar dos parejas en un grupo de $n$ personas se pueden calcular multiplicando las distintas combinaciones de una sola pareja en un grupo de $n$ personas (4) por las combinaciones de otra pareja en el grupo que queda de $n-2$ personas. Luego, ese producto se debe dividir entre las permutaciones posibles entre las dos parejas $2!$, pues es lo mismo tener la pareja $A$ primero y luego la $B$ que primero la $B$ y luego la $A$. Regresando al ejemplo del grupo de cinco personas: es lo mismo tener primero a Pedro con María y después a Pablo con Juan, que primero a Pablo con Juan y después a Pedro con María. El número de combinaciones distintas es entonces $$\begin{array}{cc}{C}_2\left(n\right)=\frac{1}{2!}\left[\frac{1}{2}n\left(n-1\right)\right]\left[\frac{1}{2}\left(n-2\right)\left(n-3\right)\right]={\left(\frac{1}{2}\right)}^{3}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\mathrm{.}& (6)\end{array}$$Si en este grupo de $n$ personas hay sólo dos pares que coinciden en fecha, suponiendo fechas distintas para cada pareja, en total hay $n-2$ fechas distintas. Las posibilidades de combinar $n-2$ fechas distintas, son $$365\times 364\times 363\times \mathrm{...}\times \left[363-\left(n-3\right)\right]=\frac{365!}{\left[365-\left(n-2\right)\right]!},$$de modo que los casos posibles para dos coincidencias en fecha son$$casos con dos coincidencias=C_2\frac{365!}{\left[365-\left(n-2\right)\right]!}=\left(\frac{1}{2!}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\frac{365!}{\left[365-\left(n-2\right)\right]!}\mathrm{.}$$La probabilidad correspondiente se calcula dividiendo estos casos favorables entre los casos totales posibles$$p_2\left(n\right)=\frac{\left(\frac{1}{2!}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\frac{365!}{\left[365-\left(n-2\right)\right]!}}{365^n}=\frac{n!365!}{2!\left(2^2\right)\left(365^n\right)\left(n-4\right)!\left[365-\left(n-2\right)\right]!}\mathrm{.}$$La figura 6 muestra la gráfica de $p_2$ como función del número de personas en el grupo $n$, tiene un máximo claro en $n=39$, allí la probabilidad es de $0.280$. Este máximo está más hacia la derecha y es más bajito que el de la figura 4.

 

Figura 6. Probabilidad de que, en un grupo de $n$ personas, sólo dos pares de ellas comparta fecha de cumpleaños $p_2\left(n\right)$. La gráfica tiene un máximo claro en $n=39$, allí la probabilidad es de $0.280$.

6 Probabilidad de que, en un grupo de $n$ personas, $i$ pares de ellas compartan fecha de cumpleaños.

Se puede generalizar el resultado de la sección anterior (6) para calcular las distintas maneras de combinar $i$ parejas en un grupo de $n$ personas.$$C_i\left(n\right)=\frac{1}{i!}\left[\frac{1}{2}n\left(n-1\right)\right]\left[\frac{1}{2}\left(n-2\right)\left(n-3\right)\right]\mathrm{...}\left[\frac{1}{2}\left(n-\left(2i-2\right)\right)\left(n-\left(2i-1\right)\right)\right]=\frac{1}{i!}{\left(\frac{1}{2}\right)}^i\left(\frac{n!}{\left(n-2i\right)!}\right)\mathrm{.}$$Aquí hay $n-i$ fechas de cumpleaños distintas, las distintas posibilidades de combinarlas son$$365\times 364\times 363\times \mathrm{...}\times \left[363-\left(n-\left(i+1\right)\right)\right]=\frac{365!}{\left[365-\left(n-i\right)\right]!},$$de modo que los casos posibles para $i$ coincidencias en fecha son$$casos con i coincidencias=C_i\frac{365!}{\left[365-\left(n-i\right)\right]!}=\left(\frac{1}{i!}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^i\left(\frac{n!}{\left(n-2i\right)!}\right)\frac{365!}{\left[365-\left(n-i\right)\right]!}\mathrm{.}$$La probabilidad correspondiente se calcula dividiendo estos casos favorables entre los casos totales posibles$$p_i\left(n\right)=\frac{\left(\frac{1}{i!}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^i\left(\frac{n!}{\left(n-2i\right)!}\right)\frac{365!}{\left[365-\left(n-i\right)\right]!}}{365^n}=\frac{n!365!}{i!\left(2^i\right)\left(365^n\right)\left(n-2i\right)!\left[365-\left(n-i\right)\right]!}\mathrm{.}$$ La figura 7 muestran las gráficas de $p_i$ como función del número de personas en el grupo $n$, para $i=$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 10. Todas las gráficas tienen un máximo claro que se corre a la derecha y es más bajito al aumentar el valor de $i$. 

Figura 7. Probabilidad de que, en un grupo de $n$ personas, sólo $i$ pares de ellas compartan fecha de cumpleaños $p_i\left(n\right)$.

7 Probabilidad de que, en un grupo de $n$ personas, las coincidencias en fecha de cumpleaños sean sólo por pares.

Si se suman todas las $p_i$ posibles se obtiene la probabilidad de que, en un grupo de $n$ personas, las coincidencias sean sólo por pares.

$$p_{pares}\left(n\right)=p_1+p_2+\mathrm{...}+p_{Ent\frac{n}{2}}=\sum _{i=1}^{Ent\frac{n}{2}}{p}_i,$$donde “$Ent\frac{n}{2}$” representa la parte entera de $n/2$. La figura 8 muestra la gráfica de $p_{pares}$ como función del número de personas en el grupo. Resulta muy interesante notar que la probabilidad de hallar sólo pares es muy alta para el máximo en $n=47$, dicha probabilidad es aproximadamente 85%.

 

Figura 8. Probabilidad de que, en un grupo de $n$ personas, las coincidencias sean sólo por pares.

8 Probabilidad de que, en un grupo de $n$ personas, coincidan al menos una tercia de ellos en la fecha de cumpleaños

Si al conjunto de todas las posibilidades le restamos las combinaciones que no presentan coincidencias y las combinaciones que presentan coincidencias sólo por pares, nos quedarán sólo los casos posibles en los que haya al menos alguna coincidencia en fecha para tres personas. Así mismo si a la unidad, que representa la probabilidad de que ocurra cualquier caso posible, le restamos la probabilidad de que no haya coincidencias y la de que las coincidencias sean sólo por pares, nos quedará la probabilidad de que coincida al menos una tercia del grupo en la fecha de cumpleaños

$$p_{\ge 1 tercia}\left(n\right)=1-p_{non}-p_{pares}\mathrm{.}$$La figura 9 muestra la gráfica de $p_{pares}$ como función del número de personas en el grupo. 

 

Figura 9. Probabilidad de que, en un grupo de $n$ personas, coincidan al menos una tercia de ellos en la fecha de cumpleaños.

Nuevamente sorprende el hecho de que, con tan sólo 88 personas en el grupo, la probabilidad de que haya al menos una coincidencia de tercia en la fecha de cumpleaños (puede haber otras coincidencias por pares, tantas como se quieran) ya llega a 0.5, es decir al 50%. 

9 Probabilidad de que, de un total de $n$ sismos independientes (en alguna región geográfica), de más de cierto grado de magnitud, coincidan en la fecha del año al menos una tercia de ellos (no tiene que ser el mismo año).

Una aplicación del resultado de la sección anterior es calcular la probabilidad de que, de un total de $n$ sismos independientes (en alguna región geográfica), de más de cierto grado de magnitud, coincidan en la fecha del año al menos una tercia de ellos (no tiene que ser el mismo año).

Para las personas que habitamos el centro y centro-sur del territorio mexicano los sismos no nos son fenómenos desconocidos, vivimos muy cerca de la zona de subducción de una placa tectónica hacia abajo de otra. Se puede consultar la información relacionada con los sismos fuertes que se han detectado en México, de 1900 a la fecha, en el sitio http://www2.ssn.unam.mx:8080/sismos-fuertes/ del Servicio Sismológico Nacional (SSN). En particular guardamos fuertes memorias de los sismos que causaron graves pérdidas humanas y materiales, en 1985 y 2017 (ya no quedan tantas personas que recuerden el sismo que en 1957 tiró al “Ángel de la independencia” y otros anteriores). Ambos temblores se dieron en la misma fecha del año (del calendario gregoriano), el 19 de septiembre. En particular el del 2017 se dio unas pocas horas después del gran simulacro organizado en conmemoración del sismo de 1985, las alertas sísmicas sonaron dos veces ese día, como el epicentro fue cercano a las grandes poblaciones del centro del país, la alerta real comenzó a sonar al tiempo que ya todo se movía. Una buena cantidad de edificaciones se derrumbaron y muchas otras más resultaron severamente dañadas. Nuevamente, como si fuera una muy mala broma, el 19 de septiembre de 2022, no habían pasado dos horas del fin del simulacro, ahora para conmemorar las pérdidas de dos sismos coincidentes en fecha, sonó la alerta y la tierra se agitó -¡no puede ser!-, gritábamos, -¡es la tercera vez!-. El sismo se sintió muy fuerte en la Ciudad de México, hubo algunos daños, aunque nada comparado a los ocasionados por los otros dos anteriores que comparten fecha. De inmediato la pregunta se formuló en nuestra cabeza “¿Cuál es la probabilidad de que ocurran tres sismos fuertes (memorables), a lo largo de 37 años, en la misma fecha?”. Es la intención de este artículo responder a esa pregunta taladrante.

Según la citada página del SSN han habido 23 sismos en México, de magnitud 7 o mayores, desde el 19 de septiembre de 1985 hasta la misma fecha de 2022. Esos 23 sismos serán como las $n$ personas que hay en un grupo, ¿cuál es la probabilidad de que, al menos tres, coincidan en fecha (no necesariamente del mismo año)? Si miramos nuevamente la figura 9, vemos qué la probabilidad es pequeña. En la figura 10 se señala a $p_{\ge 1 tercia}$ para $n=23$.

 

Figura 10. En rojo se destaca la probabilidad de que, al menos tres de 23 sismos, coincidan en fecha (no necesariamente del mismo año).

Dicha probabilidad es de aproximadamente 1.27 %, de hecho es pequeña, pero definitivamente no infinitesimal.

Tal vez la forma de plantear el problema no sea la más apropiada. Por ejemplo, quizá sea mejor emplear un valor de acelerometría máxima en la Ciudad de México que ese valor 7 de magnitud, para acercarnos más a la verdadera experiencia de los capitalinos. La cercanía al epicentro afecta significativamente la intensidad de las aceleraciones que se perciben y los daños potenciales a la infraestructura así como las pérdidas humanas. Acaso de esta manera la probabilidad resulte más pequeña. Desde luego, no hay evidencia científica de que nosotros tengamos algún efecto “psíquico” sobre la tectónica de placas. De cualquier manera, debido a nuestros recuerdos, el próximo 19 de septiembre en esta zona del planeta, seguramente no podremos evitar estar muy inquietos, con o sin simulacro previo.