2 Colisiones

 

2 Colisiones

Tabla de Contenidos

• 2.1 Fuerzas durante las colisiones
• 2.2 Impulso y ejemplos
• 2.3 Colisiones en una dimensión, elásticas e inelásticas, con ejemplos
  
• 2.4 Colisiones en dos dimensiones, elásticas e inelásticas, con ejemplos

2.1 Fuerzas durante las colisiones

En la sección anterior se mostró como, en ausencia de fuerzas externas o si estas se anulan, el momentum lineal del sistema $P=M{v}_{cm}$ se conserva. Este momentum lineal $P$ es también la suma de los momenta individuales de todas las partículas que conforman el sistema$$P=\sum p_i\mathrm{.}$$En el caso de las colisiones entre objetos, las fuerzas asociadas a estos choques suelen ser de magnitudes mucho mayores que las fuerzas externas, además de que los tiempos de interacción son muy cortos, lo que nos permite suponer que durante las colisiones el momentum lineal del sistema se conserva. Para ilustrar este hecho vamos a resolver un problema, ya muy conocido, de cinemática de una partícula en una dimensión.

2.1.1 Ejemplo 1

Se informa que una mujer cayó una altura $h=144$ pies (~ 44 m) desde el piso 17 de un edificio, aterrizando en una caja de ventilación de metal que aplastó a una profundidad de $d=18.0$ pulgadas (~ 0.5 m). Ella solo sufrió heridas leves. Ignorando la resistencia del aire, calcule (a) la velocidad de la mujer justo antes de chocar con el ventilador. Suponiendo su aceleración como constante, (b) calcule dicha aceleración mientras estuvo en contacto con la caja, compare el resultado con el valor de $g$. (c) Calcule el intervalo de tiempo que tardó en aplastar la caja hasta llegar al reposo.

(a) La ecuación que relaciona desplazamientos y velocidades para un movimiento de aceleración constante en una dimensión es $$\begin{array}{cc}{v}_f^2=v_i^2+2a\Delta x\mathrm{.}& (1)\end{array}$$Para la caída libre la velocidad inicial se supone nula, la aceleración es $a=-g$ y el desplazamiento $\Delta x=-h$, de modo que$$v_f=\sqrt{2gh}\approx 30 m/s\mathrm{.}$$

(b) Volviendo a emplear la ecuación (1) para despejar a $a$ queda$$a=\frac{v_f^2-v_i^2}{2\Delta x},$$pero ahora con una velocidad inicial igual a la velocidad final del inciso anterior $v_i=30 m/s$, una velocidad final nula y un desplazamiento $\Delta x=-d$ se tiene que $$a=\frac{v_i^2}{2d}=900 m/s^2,$$¡que es casi cien veces mayor a $g$! Si multiplicamos por la masa de la mujer, suponiéndola de unos 50 kg, tenemos una fuerza de frenado de 45 000 N, es decir, ¡de más de 4.5 toneladas!

(c) La aceleración es el cambio de velocidad en el tiempo $a=\frac{\Delta v}{t}$, despejando al tiempo queda $t=\frac{\Delta v}{a}=0.033 s$, un tiempo de poco más de tres centésimas de segundo.

2.2 Impulso y ejemplos

Debido a que la segunda ley de Newton para una partícula se puede escribir más generalmente como$$F=\frac{dp}{dt},$$empleando el cálculo infinitesimal también podemos decir que$$\Delta p=\int Fdt\mathrm{.}$$A la cantidad que está del lado derecho de la ecuación anterior se le llama impulso $J$$$J=\int Fdt$$y se puede escribir de manera más simple en términos de la fuerza promedio $⟨F⟩$$$J=⟨F⟩\Delta t\mathrm{.}$$Las fuerzas durante las colisiones no suelen ser constantes, varían mucho en el corto tiempo que actúan, por lo tanto la fuerza máxima durante una colisión regularmente es mucho mayor a la promedio.

2.2.1 Ejemplo 1

Una bola de béisbol, cuya masa es de $m=0.140 kg$, se mueve horizontalmente con una rapidez de $v_i=150 km/h$ cuando es golpeada por un bate, abandona el bate con una dirección que forma un ángulo de $\theta =$145° respecto la trayectoria inicial y con una rapidez de $v_f=180 km/h$. (a) Halle el impulso de la fuerza ejercida sobre la bola. (b) Suponiendo que la colisión dura $\Delta t=1.5 ms$ ¿cuál es la magnitud de la fuerza promedio? (c) Halle el cambio de momentum lineal del bate.

 Figura 1.  El bate golpeando la bola.

(a) Sabemos que el impulso es la diferencia del momentum lineal$$J=\Delta p=p_f-p_0,$$también sabemos que $$p_0=-m{v}_i\hat{i}$$ y que $$p_f=m\left[v_{f}cos\left(180°-\theta \right)\hat{i}+v_{f}sin\left(180°-\theta \right)\hat{j}\right],$$por lo que $$J=m\left\{\left[v_{f}cos\left(180°-\theta \right)+v_i\right]\hat{i}+v_{f}sin\left(180°-\theta \right)\hat{j}\right\}$$el resultado en unidades del SI y con tres cifras significativas queda $$J=\left(11.6 kg m/s\right)\hat{i}+\left(4.02 kg m/s\right)\hat{j}$$

(b) Dado que la fuerza promedio es $⟨F⟩=\frac{J}{\Delta t}$, obtenemos $$⟨F⟩=7712 N \hat{i}+2677 N\hat{j}$$ y la magnitud de dicho vector es $⟨F⟩=8163 N\mathrm{.}$

(c) El cambio del momentum del bate debe ser el inverso aditivo del cambio del momentum de la bola, por la conservación del momentum lineal.

2.3 Colisiones en una dimensión, elásticas e inelásticas.

Con frecuencia conocemos las condiciones antes de una colisión y queremos conocer lo que sucederá después. Independientemente de cómo sean las fuerzas internas del sistema, podemos contar con que el momentum total se conserva $P_i=P_f$. Lo que no necesariamente se conserva durante la colisión es la energía cinética total, es común que parte de esta energía se transforme en otro tipo de energía, como calor, deformación, radiación etc. Cuando los objetos que colisionan son muy rígidos es muy poca la energía cinética que se pierde como tal, las colisiones entre bolas de billar son de ese tipo. A las colisiones en las que no se pierde energía cinética se les llama colisiones elásticas, pero si ya se pierde una cantidad significativa de esta energía se llaman inelásticas. Al caso más extremo, cuando los objetos que chocan se quedan pegados, se le llama colisión totalmente inelástica.

Se puede acceder a un simulador gratuito de colisiones en una y dos dimensiones en la página

 https://phet.colorado.edu/sims/html/collision-lab/latest/collision-lab_all.html.

2.3.1 Colisiones elásticas

Consideremos primero las colisiones elásticas en una dimensión. Tomemos dos partículas con masas $m_1$ y $m_2$, que antes de chocar tienen velocidades $v_{1i}$ y $v_{2i}$, nos interesa calcular cuáles serán sus velocidades finales. La conservación del momentum lineal garantiza que $$\begin{array}{cc}{m}_1{v}_{1i}+m_2{v}_{2i}=m_1{v}_{1f}+m_2{v}_{2f}\mathrm{.}& (2)\end{array}$$Si la colisión es elástica, la energía cinética total se conserva por lo que también se cumple $$\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{m}_1{v}_{1i}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_{2i}^2=\frac{1}{2}{m}_1{v}_{1f}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_{2f}^2\mathrm{.}& (3)\end{array}$$Las ecuaciones (2) y (3) se pueden reorganizar $$\begin{array}{cc}{m}_1\left(v_{1i}-v_{1f}\right)=m_2\left(v_{2f}-v_{2i}\right)y{m}_1\left(v_{1i}^2-v_{1f}^2\right)=m_2\left(v_{2f}^2-v_{2i}^2\right),& (4)\end{array}$$dividiendo la ecuación de la derecha entre la de la izquierda queda $$\begin{array}{cc}{v}_{1i}+v_{1f}=v_{2f}+v_{2i},& (5)\end{array}$$lo cual significa que la suma de las velocidades inicial y final para una partícula es igual a la misma suma pero para la otra partícula, sin importar las masas. Combinando (5) con la ecuación de la izquierda en (4) y efectuando operaciones algebraicas para resolver a $v_{1f}$ se obtiene $$\begin{array}{cc}{v}_{1f}=\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)v_{1i}+\left(\frac{2m_2}{m_1+m_2}\right)v_{2i},& (6)\end{array}$$de manera similar para resolver a $v_{2f}$ $$\begin{array}{cc}{v}_{2f}=\left(\frac{2m_1}{m_2+m_1}\right)v_{1i}+\left(\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}\right)v_{2i}\mathrm{.}& (7)\end{array}$$

2.3.2 Ejemplos emblemáticos de colisiones elásticas

Masas iguales

Si las masas de las dos partículas son iguales $m_1=m_2$ los resultados (6) y (7) se simplifican mucho$$v_{1f}=v_{2i}y{v}_{2f}=v_{1i},$$lo anterior significa que las partículas que chocan sólo intercambian sus velocidades.

Blanco masivo

Si $m_2\gg m_1$$$v_{1f}\approx -v_{1i}+2v_{2i}y{v}_{2f}\approx v_{2i},$$el resultado anterior indica que al blanco masivo (la partícula 2) no le afecta gran cosa el proyectil (la partícula 1) que lo golpea, mientras que al proyectil sí le afecta mucho la colisión pues le cambia significativamente velocidad.

Proyectil masivo

Si $m_1\gg m_2$$$v_{1f}\approx v_{1i}y{v}_{2f}\approx 2v_{1i}-v_{2i},$$aquí al proyectil casi no le afecta la colisión mientras que el blanco sí se ve muy afectado. En el caso de que el blanco esté inicialmente en reposo, éste acaba adquiriendo el doble de la velocidad que tenía el proyectil.

Se pueden ver animaciones  de colisiones elásticas en una dimensión,  como las de la figura (2), siendo blanco y proyectil de masas iguales o diferentes, en Mismas masas y Masas distintas.

 

Figura 2.  Colisiones elásticas en una dimensión.

Frenado de neutrones

(a) ¿En qué fracción disminuye la energía cinética de un neutrón (masa $m_1$) en una colisión elástica frontal con un núcleo atómico (masa $m_2$) que está inicialmente en reposo? (b) Encuentre dicha fracción para cuando el neutrón choca con un núcleo de plomo, uno de carbono y uno de hidrógeno. La relación entre la masa nuclear y la masa del neutrón es 206 para plomo, 12 para carbono y 1 para hidrógeno.

El núcleo atómico es el blanco y éste está en reposo, por lo tanto la ecuación (6) se simplifica$$v_{1f}=\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)v_{1i}\mathrm{.}$$Elevando al cuadrado, multiplicando por $m_1$ y dividiendo entre dos la ecuación anterior queda$$\frac{1}{2}{m}_1{v}_{1f}^2={\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)}^2\left(\frac{1}{2}{m}_1{v}_{1i}^2\right),$$expresión que relaciona las energías cinéticas inicial y final del protón$$K_f={\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)}^2{K}_i$$y re ordenando el resultado anterior se puede escribir la razón de las energías cinéticas$$\frac{K_f}{K_i}={\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)}^2\mathrm{.}$$Conviene ahora dividir al numerador y al divisor del lado derecho entre $m_1^2$ pues los datos que tenemos de las masas de los núcleos están en relación a la masa del neutrón$$\frac{K_f}{K_i}={\left(\frac{1-\frac{m_2}{m_1}}{1+\frac{m_2}{m_1}}\right)}^2\mathrm{.}$$Para el plomo $\frac{m_2}{m_1}=206$, el carbono $\frac{m_2}{m_1}=12$ y el hidrógeno $\frac{m_2}{m_1}=1$, por lo que la razón de las energías es 0.981, 0.716 y cero respectivamente.

En los reactores nucleares de fisión es importante poder controlar la velocidad de los neutrones, que son los que ocasionan la ruptura de los núcleos atómicos pesados. Si la velocidad de los neutrones es muy alta, estos no tienen el suficiente tiempo para interactuar con el núcleo fisionable y romperlo, se necesita que sean neutrones lentos para que eso ocurra. La función de un moderador de velocidad es restarle energía cinética a los neutrones para que puedan producir la fisión. El resultado del ejercicio anterior explica porqué los materiales de núcleos atómicos pesados no son buenos moderadores, si bien cambian eficientemente la dirección en la trayectorias de los neutrones, no los frenan. Para frenar a los neutrones son más eficientes los materiales compuestos con elementos ligeros, como el hidrógeno. Un compuesto muy común, el agua, contiene muchos núcleos atómicos de hidrógeno y se usa para moderar neutrones en reactores de fisión, el problema que tiene emplear núcleos de hidrógeno es que estos tienden a atrapar los neutrones; en otras palabras, muchas de las colisiones son totalmente inelásticas. El carbono, elemento del que está compuesto el grafito, también es ligero, abundante y no absorbe neutrones. En el caso del reactor de Laguna Verde, se usa el agua como moderador (https://www.mundohvacr.com.mx/2011/05/sistemas-de-refrigeracion-en-reactores-nucleares/).

2.3.3 Colisiones inelásticas

Cuando no se conserva la energía cinética, la ecuación (3) no es válida y por lo tanto necesitamos más información relacionada colisión para poder encontrar las velocidades finales de las partículas. En el caso particular de una colisión totalmente inelástica sí podemos encontrar la velocidad final del conjunto pues $v_{1f}=v_{2f}=v_f$, ya que se quedan pegadas después de la colisión. Considerando esto la ecuación (2) queda$$m_1{v}_{1i}+m_2{v}_{2i}=\left(m_1+m_2\right)v_f,$$por lo que $$\begin{array}{cc}{v}_f=\frac{m_1{v}_{1i}+m_2{v}_{2i}}{m_1+m_2}\mathrm{.}& (8)\end{array}$$

2.3.4 Ejemplos de colisiones inelásticas

 

Se tiene una colisión, ¿es o no elástica?

Los bloques de la figura se deslizan sin fricción. (a) ¿Cuál es la velocidad $v$ del bloque de 1.6 kg después de la colisión? (b) ¿Es la colisión elástica?

 Figura 3.  Colisión en una dimensión. 

(a) Si se ha de conservar el momentum lineal $P_i=P_f$ y por lo tanto

$$m_1{v}_{1i}+m_2{v}_{2i}=m_1{v}_{1f}+m_2{v}_{2f},$$de esta ecuación se puede despejar a $v_{1f}$$$v_{1f}=v_{1i}+\frac{m_2\left(v_{2i}-v_{2f}\right)}{m_1}=2.95 m/s\mathrm{.}$$(b) La energía cinética inicial es $$K_i=\frac{1}{2}{m}_1{v}_{1i}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_{2i}^2=31.7 J,$$la energía cinética final es$$K_f=\frac{1}{2}{m}_1{v}_{1f}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_{2f}^2=28.1 J,$$lo que implica pérdida de energía cinética, se trata de una colisión inelástica.

El péndulo balístico

El péndulo balístico es un dispositivo que se usaba antiguamente para medir la velocidad de las balas, ahora se emplean los dispositivos electrónicos de cronometraje. Este dispositivo consiste en un gran bloque de madera de masa $M$, que cuelga de dos pares de cuerdas largas. Suponga que se dispara una bala de masa $m$ contra el bloque, que inicialmente en reposo, la bala se encasta en el bloque. El sistema bala-bloque comienza a oscilar, se mueve hacia arriba y su centro de masa se eleva una distancia vertical $h$ antes de alcanzar el reposo momentáneo. Tome la masa del bloque como $M=5.4 kg$ y la masa de la bala como $m=9.5 g$. (a) ¿Cuál fue la velocidad inicial de la bala si el bloque se eleva a una altura de $h=6.3 cm$? (b) ¿Cuál es la energía cinética inicial de la bala? (c) ¿Qué porción de esta energía permanece como energía mecánica del péndulo oscilante?

 

 Figura 4.  El péndulo balístico. 

(a) Durante el choque de la bala con el bloque se conserva el momentum lineal del sistema pues las fuerzas externas son pequeñas comparadas con las fuerzas de la colisión. Se puede pensar como una colisión totalmente inelástica en una dimensión, la horizontal, entonces de (8)

$$\begin{array}{cc}{v}_f=\frac{m{v}_i}{m+M},& (9)\end{array}$$donde $v_i$ es la velocidad de la bala antes del impacto y $v_f$ es la velocidad de la combinación después del impacto. Aunque ciertamente la energía mecánica no se conserva durante la colisión de la bala con el bloque, sí se conserva en el péndulo oscilante después del impacto. La energía cinética del sistema cuando el bloque está en la parte inferior de su arco debe ser igual a la energía potencial del sistema cuando el bloque está en la parte superior, $$\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\left(M+m\right)v_f^2=\left(M+m\right)gh\mathrm{.}& (10)\end{array}$$Substituyendo (9) en (10) y luego despejando a $v_i$ queda$$v_i=\left(\frac{m+M}{m}\right)\sqrt{2gh}=633 m/s\mathrm{.}$$

(b) La energía cinética inicial de la bala es $\frac{1}{2}m{v}_i^2=1,903 J$.

(c) La energía mecánica del péndulo es igual a la energía potencial máxima $E_{péndulo}=\left(M+m\right)gh=3.34 J$, que es tan sólo el 0.176 % de la energía inicial de la bala. Casi toda la energía se disipa en la deformación, en calor y sonido.

2.4 Colisiones en dos dimensiones, elásticas e inelásticas.

Si las velocidades iniciales de las dos partículas no son colineales, el movimiento se puede acotar a un plano en dos dimensiones. Aquí también el momentum lineal se conserva$$$$

$$p_{1i}+p_{2i}=p_{1f}+p_{2f}$$

y al ser ésta una ecuación vectorial se puede descomponer en dos ecuaciones escalares, una para cada componente cartesiana $$\begin{array}{cc}{m}_1{v}_{1ix}+m_2{v}_{2ix}=m_1{v}_{1fx}+m_2{v}_{2fx}& (11)\end{array}$$y $$\begin{array}{cc}{m}_1{v}_{1iy}+m_2{v}_{2iy}=m_1{v}_{1fy}+m_2{v}_{2fy}\mathrm{.}& (12)\end{array}$$

Se puede acceder a un simulador gratuito de colisiones en una y dos dimensiones en la página   https://phet.colorado.edu/sims/html/collision-lab/latest/collision-lab_all.html.

2.4.1 Colisiones elásticas en 2D

Si es elástica la colisión también se conserva la energía cinética $$\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{m}_1{\left(v_{1ix}+v_{1iy}\right)}^2+\frac{1}{2}{m}_2{\left(v_{2ix}+v_{2iy}\right)}^2=\frac{1}{2}{m}_1{\left(v_{1fx}+v_{1fy}\right)}^2+\frac{1}{2}{m}_2{\left(v_{2fx}+v_{2fy}\right)}^2,& (13)\end{array}$$lo cual deja un sistema de tres ecuaciones (11), (12) y (13). Como lo que queremos conocer son las velocidades finales de las partículas, tenemos cuatro incógnitas $v_{1fx}$, $v_{1fy}$, $v_{2fx}$ y $v_{2fy}$, ¡más incógnitas que ecuaciones! Este hecho nos deja con un infinito de soluciones posibles, para que se dé una solución única necesitamos más información sobre las condiciones de la colisión.

Se puede simplificar un poco el problema si inicialmente nos colocamos en el sistema de referencia en el que la partícula 2 (el blanco) está en reposo y la partícula 1 (el proyectil) tiene una velocidad paralela al eje $x$. El proyectil se mueve inicialmente con velocidad $v_{1i}$ y choca elásticamente con el blanco de masa $m_2$, inicialmente en reposo. Después de la colisión, la partícula 1 se mueve con velocidad $v_{1f}$, y la partícula 2 se mueve con velocidad $v_{2f}$. Sean los ángulos ${\theta }_1$ y ${\theta }_2$ aquellos que forman las trayectorias finales de las partículas respecto a la dirección de la velocidad inicial $v_{1i}$, como se indica en la figura 5.

 Figura 5.  Colisión elástica entre dos partículas, siendo $v_{1i}$ la velocidad inicial del proyectil y $v_{1f}$ su velocidad final, mientras que $v_{2f}$ es la velocidad final del blanco. El blanco está inicialmente en reposo.

 La conservación del momentum lineal en la dirección $x$ (11) implica que $$\begin{array}{cc}{m}_1{v}_{1i}=m_1{v}_{1f}cos{\theta }_1+m_2{v}_{2f}cos{\theta }_2\mathrm{.}& (14)\end{array}$$De manera similar, la conservación del momentum lineal en la dirección $y$ (12) implica que $$\begin{array}{cc}0=m_1{v}_{1f}sin{\theta }_1-m_2{v}_{2f}sin{\theta }_2& (15)\end{array}$$y la conservación de la energía (13) $$\begin{array}{cc}{m}_1{v}_{1i}^2=m_1{v}_{1f}^2+m_2{v}_{2f}^2\mathrm{.}& (16)\end{array}$$

2.4.2 Ejemplos de colisiones elásticas en 2D

Dos moléculas de la misma masa

Una molécula de gas con una rapidez inicial de 322 m/s choca elásticamente con otra molécula de la misma masa que inicialmente se encuentra en reposo. Después de la colisión, la primera molécula se mueve en una dirección de 30° respecto a su trayectoria inicial. Encuentre la rapidez de cada molécula después de la colisión y el ángulo que hace la velocidad final de la molécula blanco respecto a la dirección inicial que llevaba el proyectil. Reescribiendo a (14) y a (15), tomando en cuenta las condiciones de este ejemplo y considerando $m_1=m_2$, se tiene que $$\begin{array}{cc}{v}_{2f}cos{\theta }_2=v_{1i}-v_{1f}cos{\theta }_{1}y{v}_{2f}sin{\theta }_2=v_{1f}sin{\theta }_1,& (17)\end{array}$$elevando ambas al cuadrado, sumándolas y aplicando la identidad ${cos}^2\theta +{sin}^2\theta =1$ deja $$v_{2f}^2=v_{1i}^2+v_{1f}^2-2v_{1i}{v}_{1f}cos{\theta }_1$$Combinando la ecuación anterior con (16) para eliminar $v_{2f}$, tomando en cuenta que las masas son iguales y luego simplificando la expresión queda $$v_{1i}^2-v_{1f}^2=v_{1i}^2+v_{1f}^2-2v_{1i}{v}_{1f}cos{\theta }_1$$y se puede despejar a $v_{1f}$

$$\begin{array}{cc}{v}_{1f}=v_{1i}cos{\theta }_1=279 m/s\mathrm{.}& (18)\end{array}$$Ahora empleando (16) y nuevamente que $m_1=m_2$ se obtiene$$v_{2f}=\sqrt{v_{1i}^2-v_{1f}^2}$$pero substituyendo (18) se puede simplificar aún más el resultado $$\begin{array}{cc}{v}_{2f}=\sqrt{v_{1i}^2-{\left(v_{1i}cos{\theta }_1\right)}^2}=v_{1i}\sqrt{1-{cos}^2{\theta }_1}=v_{1i}sin{\theta }_1& (19)\end{array}$$y finalmente$$v_{2f}=v_{1i}sin{\theta }_1=161 m/s\mathrm{.}$$Reescribiendo la ecuación derecha de (17) y considerando que las masas son iguales $$\begin{array}{cc}sin{\theta }_2=\frac{v_{1f}}{v_{2f}}sin{\theta }_1,& (20)\end{array}$$tomando en cuenta ahora a (18) y (19) se concluye que$$sin{\theta }_2=\frac{v_{1i}cos{\theta }_1}{v_{1i}sin{\theta }_1}sin{\theta }_1=cos{\theta }_1$$y finalmente se obtiene$${\theta }_2=arcsin\left(cos{\theta }_1\right)=60°\mathrm{.}$$Aquí pareciera casualidad que los ángulos ${\theta }_1$ y ${\theta }_2$ sean complementarios, pero en realidad no lo es porque para que se cumpla $sin{\theta }_2=cos{\theta }_1$, se debe cumplir que ${\theta }_1+{\theta }_2=90°$. En una colisión de dos partículas con la misma masa, bidimensional, elástica y en el marco de referencia que ve a la partícula blanco en reposo inicial, siempre se cumple que ${\theta }_1+{\theta }_2=90°$. 

Tres bolas de billar

Una bola de billar con una rapidez inicial de $v_i=10.0 m/s$ choca elásticamente con dos bolas idénticas a ésta, cuyos centros están sobre una línea perpendicular a la velocidad inicial de la primera bola. Inicialmente estas dos bolas están en reposo y en contacto entre sí. La primera bola se dirige directamente al punto de contacto entre las otras dos y se desprecia toda fricción. Halle las velocidades de las tres bolas después de la colisión. (Sugerencia: En ausencia de fricción, cada impulso se dirige a lo largo de la línea de los centros de las bolas, este impulso es perpendicular a la parte de la superficie que choca.) 

Figura 6. Colisión de tres bolas de billar de la misma masa.

Los centros de las bolas forman un triángulo equilátero, que tiene ángulos internos de 60°. Ésta colisión es muy simétrica, por lo que no hay razón para que respondan de manera distinta las bolas que están inicialmente en reposo, ésto también implica que la velocidad final de la primera bola debe estar sobre el eje $x$. En la colisión se conserva el momentum lineal del sistema, así que sobre el eje $x$ $$\begin{array}{cc}m{v}_{1i}=m{v}_{1f}+m{v}_{2f}cos\theta +m{v}_{3f}cos\theta & (21)\end{array}$$y sobre el eje $y$$$0=m{v}_{2f}sin\theta -m{v}_{3f}sin\theta \mathrm{.}$$De esta última ecuación se infiere que $v_{2f}=v_{3f}$ y substituyendo esto en (21), además de dividir todo entre la masa deja $$\begin{array}{cc}{v}_{1i}=v_{1f}+2v_{2f}cos\theta \mathrm{.}& (22)\end{array}$$Por otro lado se conserva la energía, de modo que$$\frac{1}{2}m{v}_{1i}^2=\frac{1}{2}m{v}_{1f}^2+\frac{1}{2}m{v}_{2f}^2+\frac{1}{2}m{v}_{3f}^2,$$ahora dividiendo entre la masa y multiplicando por $2$ queda$$v_{1i}^2=v_{1f}^2+v_{2f}^2+v_{3f}^2,$$pero si recordamos que $v_{2f}=v_{3f}$ se simplifica aún más $$\begin{array}{cc}{v}_{1i}^2=v_{1f}^2+2v_{2f}^2\mathrm{.}& (23)\end{array}$$Despejando $v_{1f}$ de (22) y elevando al cuadrado se obtiene$$v_{1f}^2=v_{1i}^2+4v_{2f}^2{cos}^2\theta -4v_{1i}{v}_{2f}cos\theta ,$$luego substituyendo en (23) queda$$v_{1i}^2=v_{1i}^2+4v_{2f}^2{cos}^2\theta -4v_{1i}{v}_{2f}cos\theta +2v_{2f}^2,$$al simplificar deja$$v_{2f}=v_{1i}\frac{2cos\theta }{2{cos}^2\theta +1}=6.93 m/s\mathrm{.}$$Luego se puede substituir este resultado en (22) y resolver para $v_{1f}$$$v_{1f}=v_{1i}\left(1-\frac{4{cos}^2\theta }{2{cos}^2\theta +1}\right)=-2 m/s\mathrm{.}$$

2.4.3 Colisiones inelásticas en 2D

En las colisiones inelásticas no se conserva la energía cinética, por lo que aquí no es válida (13) ni (16), sin embargo puede ser que sepamos algo en relación a la porción de energía que se pierde o gana y escribir alguna otra relación, involucrando a las energías, que sí sea valida. El caso de las colisiones totalmente inelásticas es particularmente sencillo de resolver dado que $$p_{1i}+p_{2i}=p_f,$$entonces (11) y (12) se simplifican quedando $$\begin{array}{cc}{m}_1{v}_{1ix}+m_2{v}_{2ix}=\left(m_1+m_2\right)v_{fx}& (24)\end{array}$$y $$\begin{array}{cc}{m}_1{v}_{1iy}+m_2{v}_{2iy}=\left(m_1+m_2\right)v_{fy},& (25)\end{array}$$lo cual implica un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, $v_{fx}$ y $v_{fy}$, que se debe de poder resolver.

2.4.4 Ejemplos de colisiones inelásticas en 2D

Choque de automóvil con camioneta

Un automóvil de $m_1=1500 kg$ que viaja hacia el este con una rapidez de $v_{1i}=25.0 m/s$ choca en una intersección con una camioneta de $m_2=2500 kg$ que viaja hacia el norte en una velocidad de $v_{2i}=20.0 m/s$, como se muestra en la figura. Después de la colisión los vehículos se quedan enganchados. Encuentra la dirección y la magnitud de la velocidad de los restos, justo después de la colisión.

  Figura 7.  Choque de auomóvil con camioneta.

Substituyendo los datos en (24) y (25) se obtiene $$m_1\left(v_{1i}cos0°\right)+m_2\left(v_{2i}cos90°\right)=\left(m_1+m_2\right)\left(v_{f}cos\theta \right)$$y$$m_1\left(v_{1i}sin0°\right)+m_2\left(v_{2i}sin90°\right)=\left(m_1+m_2\right)\left(v_{f}sin\theta \right)\mathrm{.}$$ Tomando en cuenta que $cos0°=1$, $cos90°=0$, $sin0°=0$ y $sin90°=1$, para luego dividir entre la suma de las masas, queda$$\frac{m_1{v}_{1i}}{m_1+m_2}=v_{f}cos\theta$$y$$\frac{m_2{v}_{2i}}{m_1+m_2}=v_{f}sin\theta \mathrm{.}$$Si sumamos los cuadrados de ambas ecuaciones y luego aplicamos la raíz cuadrada se obtiene$$v_f=\frac{\sqrt{{\left(m_1{v}_{1i}\right)}^2+{\left(m_2{v}_{2i}\right)}^2}}{m_1+m_2}=15.6 m/s\mathrm{.}$$Ahora, si dividimos una entre la otra queda$$tan\theta =\frac{m_2{v}_{2i}}{m_1{v}_{1i}}$$y empleando la función inversa de la tangente se puede calcular el valor del ángulo$$\theta =arctan\left(\frac{m_2{v}_{2i}}{m_1{v}_{1i}}\right)=53.1°.$$

Colisión de dos objetos con la misma masa y rapidez inicial

Después de una colisión totalmente inelástica, se encuentra que dos objetos de la misma masa $m$ y rapidez inicial $v_i$ se mueven juntos a la mitad de su rapidez inicial. Halle el ángulo entre las velocidades iniciales de los objetos.

 Figura 8. Colisión de dos partículas de la misma masa y rapidez inicial.

 

Si el choque fuera frontal, la velocidad final se anularía, así que debe haber un ángulo entre las dos trayectorias iniciales. Colocando el sistema de referencia tal que la velocidad final esté en la dirección positiva del eje $x$, como muestra la figura 8 se puede decir lo siguiente$$2m{v}_{i}cos\theta =2m{v}_f,$$debido a la conservación del momentum lineal en la dirección $x$. Como $v_f=\frac{v_i}{2}$$$2m{v}_{i}cos\theta =m{v}_i\Rightarrow cos\theta =\frac{1}{2},$$lo que significa que $\theta =60°$.

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