3 Movimiento circular y rotaciones

 

 

3 Movimiento circular y rotaciones

Tabla de Contenidos

• 3.1 Movimiento circular uniforme
• 3.2 Ejemplos de movimiento circular uniforme
• 3.3 Dinámica del movimiento circular uniforme
  
• 3.4 Ejemplos de dinámica del movimiento circular uniforme
• 3.5 Movimiento circular con aceleración angular constante
  
• 3.6 Cinemática de la rotación
  
• 3.7 Ejemplos de rotaciones y aceleración angular uniforme
  

3.1 Movimiento circular uniforme

  

Figura 1: Se puede ver una animación GIF de movimiento circular aquí Movimiento Circular.

 

El movimiento circular uniforme es aquel en que la partícula sigue una trayectoria circular y además cubre intervalos de ángulo iguales en tiempos iguales.

3.1.1 Posición

Figura 2: Una posición instantánea de la partícula que sigue un movimiento circular uniforme.

 

Supongamos que una partícula se mueve en una trayectoria circular con centro en el origen de coordenadas, la magnitud del vector de posición es siempre la misma $r$, pues esa es la definición misma de un círculo. El ángulo de dirección del vector de posición $\theta$ varía de forma constante, por lo que debe ser una función lineal del tiempo $$\begin{array}{cc}\theta =\omega t+{\theta }_0,& (1)\end{array}$$aquí $\omega$ es una constante que indica que tan rápido gira, se llama velocidad angular, y regularmente está dada en radianes sobre segundo. La constante ${\theta }_0$ indica el ángulo inicial, es decir el valor de $\theta$ cuando $t=0$. En coordenadas cartesianas también es simple la escritura del vector de posición de la partícula $\left(x,y\right)$, $$x=rcos\theta yy=rsin\theta$$ y substituyendo a (1) queda$$x\left(t\right)=rcos\left(\omega t+{\theta }_0\right)yy\left(t\right)=rsin\left(\omega t+{\theta }_0\right)\mathrm{.}$$En notación de vectores unitarios la posición se ve así $$\begin{array}{cc}r\left(t\right)=r\left[cos\left(\omega t+{\theta }_0\right)\hat{i}+sin\left(\omega t+{\theta }_0\right)\hat{j}\right]& (2)\end{array}$$

3.1.2 Velocidad

La velocidad es la razón de cambio del vector posición con respecto al tiempo $v=\frac{dr}{dt},$de modo que $$v_x=-\omega rsin\left(\omega t+{\theta }_0\right)y{v}_y=\omega rcos\left(\omega t+{\theta }_0\right),$$o bien $$\begin{array}{cc}v\left(t\right)=\omega r\left[-sin\left(\omega t+{\theta }_0\right)\hat{i}+cos\left(\omega t+{\theta }_0\right)\hat{j}\right]\mathrm{.}& (3)\end{array}$$Aquí se debe resaltar que la expresión anterior sólo es válida si las unidades de la velocidad angular son radianes sobre unidad de tiempo. La magnitud del vector de velocidad, la rapidez, se obtiene sumando el cuadrado de las componentes y luego tomando la raíz cuadrada $$\begin{array}{cc}v=\omega r\sqrt{{sin}^2\left(\omega t+{\theta }_0\right)+{cos}^2\left(\omega t+{\theta }_0\right)}=\omega r\mathrm{.}& (4)\end{array}$$Es de notar que la rapidez no depende del tiempo, lo que quiere decir que es constante, resulta que es proporcional a la velocidad angular y al radio de giro. La dirección del vector velocidad ${\theta }_v$ se obtiene empleando la función tangente $$tan{\theta }_v=\frac{v_x}{v_y}=-\frac{cos\left(\omega t+{\theta }_0\right)}{sin\left(\omega t+{\theta }_0\right)}=-cot\left(\omega t+{\theta }_0\right)\mathrm{.}$$La relación entre la dirección del vector de posición y la del vector de velocidad está expresada en la ecuación anterior, ¿cómo deben ser dos ángulos si la tangente de uno debe ser igual al negativo de la cotangente del otro? La respuesta se puede ver claramente observando la figura 3. Si la tangente de uno ha de ser igual al negativo de la cotangente del otro debe haber 90° grados (o un múltiplo impar de 90°) de diferencia entre ellos, esto es, deben de ser perpendiculares.

Figura 3: Tangente y negativo de la cotangente de un ángulo.

 

La perpendicularidad entre el vector de posición y el de velocidad también se puede verificar evaluando el producto escalar de ambos vectores, el producto escalar de (2) con (3) se anula, lo que confirma que son perpendiculares. Como la posición es un vector central, la velocidad debe ser tangencial.

Figura 4: Vectores de posición y velocidad en un movimiento circular uniforme.

 

3.1.3 aceleración

La aceleración es la razón de cambio del vector velocidad con respecto al tiempo $a=\frac{dv}{dt},$de modo que $$a_x=-{\omega }^{2}rcos\left(\omega t+{\theta }_0\right)y{a}_y=-{\omega }^{2}rsin\left(\omega t+{\theta }_0\right),$$o bien $$\begin{array}{cc}a\left(t\right)=-{\omega }^{2}r\left[cos\left(\omega t+{\theta }_0\right)\hat{i}+sin\left(\omega t+{\theta }_0\right)\hat{j}\right]\mathrm{.}& (5)\end{array}$$Nuevamente se hace hincapié en que la expresión anterior sólo es válida si las unidades de la velocidad angular son radianes sobre unidad de tiempo. La magnitud del vector de aceleración se obtiene sumando el cuadrado de las componentes y luego tomando la raíz cuadrada $$\begin{array}{cc}a={\omega }^{2}r\sqrt{{cos}^2\left(\omega t+{\theta }_0\right)+{sin}^2\left(\omega t+{\theta }_0\right)}={\omega }^{2}r\mathrm{.}& (6)\end{array}$$También la magnitud de la aceleración es independiente del tiempo, lo que quiere decir que es constante, depende sólo del cuadrado de la velocidad angular y del radio de giro. La dirección del vector aceleración ${\theta }_a$ es fácil de visualizar si notamos que el vector de posición y el vector de aceleración apuntan exactamente en sentido contrario, se dice que la aceleración es centrípeta y por eso se le representa como $a_c$.

 

Figura 5: Se puede ver una animación GIF de la dirección de los vectores de velocidad y aceleración de un movimiento circular uniforme en Velocidad y aceleración.

 

3.1.4 Cantidades importantes en el movimiento circular uniforme y el carácter vectorial de $\omega$.

Para describir el ritmo del movimiento circular frecuentemente empleamos alguna de las tres siguientes cantidades

Nombre	Símbolo	Significado
Frecuencia angular	$\nu$	Revoluciones (vueltas o círculos) por unidad de tiempo
Período	$T$	Tiempo que se requiere para completar una revolución (vuelta o círculo)
Velocidad o rapidez angular	$\omega$	Radianes que se recorren por unidad de tiempo

Tabla 1: Cantidades que describen el ritmo de un movimiento circular uniforme

 

Las tres cantidades que se presentan en la tabla nos dan una información similar, nos dicen a que ritmo gira el objeto que se está moviendo, una en radianes por unidad de tiempo, otra en revoluciones por unidad de tiempo y otra cuanto tiempo tarda en completarse una revolución. Obviamente las tres están relacionadas de manera simple. Dado que una revolución son $2\pi$ radianes es claro que $$\begin{array}{cc}\omega =2\pi \nu \mathrm{.}& (7)\end{array}$$Dado que $\nu \to \frac{revoluciones}{tiempo}$ y que $T\to \frac{tiempo}{revolución}$ se tiene que$$T=\frac{1}{\nu }\mathrm{.}$$

A la cantidad $\omega$ se le puede asignar un carácter vectorial, que es muy conveniente, pero se necesita emplear el producto vectorial (producto cruz) de vectores. El producto vectorial entre $A$ y $B$ se representa como $A\times B\mathrm{.}$ Sea $$A\times B=C$$entonces $C$ es un vector cuya magnitud es el producto de las magnitudes de $A$ y $B$ por el seno del ángulo que los separa $$\left|C\right|=\left|A\right|\left|B\right|sin{\theta }_{AB}$$y su dirección es perpendicular a estos dos vectores, como se indica en la figura 6. En coordenadas cartesianas el producto vectorial se escrribe así $$A\times B=\left(A_y{B}_z-A_z{B}_y\right)\hat{i}+\left(A_z{B}_x-A_x{B}_z\right)\hat{j}+\left(A_x{B}_y-A_y{B}_x\right)\hat{k}\mathrm{.}$$Es fácil demostrar la equivalencia de la definición y el resultado en coordenadas cartesianas si notamos que

 

Figura 6: Dirección del producto vectorial.

Con el producto vectorial se define a la velocidad angular $\stackrel{⟶}{\omega }$ de modo que$$v=\stackrel{⟶}{\omega }\times r\mathrm{.}$$Una forma ingeniosa (y equivalente) de implementar la regla de la mano derecha para el movimiento circular es dirigir todos los dedos de la mano derecha, excepto el pulgar, en la dirección de la trayectoria circular y entonces el pulgar nos indicará cuál es la dirección de $\stackrel{⟶}{\omega }$.

Figura 7: Dirige todos los dedos de la mano derecha, excepto el pulgar, en la dirección de la trayectoria circular y entonces el pulgar te indicará cuál es la dirección de $\stackrel{⟶}{\omega }$.

 

3.2 Ejemplos de movimiento circular uniforme

3.2.1 Ejemplo1

Un astronauta gira en una centrífuga de 5.2 m de radio. (a) ¿Cuál es su rapidez si la aceleración centrípeta debe ser de 6.8 $g$?(b) ¿Cuántas revoluciones por minuto se requieren para producir esta aceleración?

Aquí el astronauta debe entrenar para soportar una aceleración de 6.8 $g$, ya que en el despegue o la re-entrada se deben tolerar aceleraciones grandes. Para generar una aceleración de esa magnitud en tierra se usa una centrífuga, que es simplemente un aparato que hace girar al astronauta con movimiento circular uniforme. (a) Esa aceleración de 6.8 $g$ que se debe de simular es una aceleración centrípeta, por (6) se tiene que$$a_c={\omega }^{2}r,$$despejando la rapidez angular se obtiene$$\omega =\sqrt{\frac{a_c}{r}},$$y considerando (4), es decir $v=\omega r$, se obtiene$$v=\sqrt{r{a}_c}\mathrm{.}$$Para hacer el cálculo numérico hay que escribir a la aceleración en unidades del SI $a_c=6.8 g=66.6 m/s^2$, de modo que $v=18.6 m/s\mathrm{.}$

(b) La rapidez angular está en radianes por unidad de tiempo, pero el resultado tiene que estar en revoluciones por unidad de tiempo, así que por (7) se tiene que$$\nu =\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{a_c}{r}}\mathrm{.}$$Lo anterior nos da un resultado de 0.570 revoluciones por segundo, es decir que se llevan a cabo 34.2 revoluciones por minuto:$$\nu =34.2 rev/min\mathrm{.}$$

Un video en el que se aprecia muy bien el funcionamiento de una centrífuga se puede ver en https://www.youtube.com/watch?v=Hgz7kJJSksM.

3.2.2 Ejemplo2

El tren rápido conocido como TGV Atlantique (Tren Grande Vitesse) que corre desde París hasta LeMans, en Francia, tiene una rapidez máxima de 310 km/h. (a) Si el tren toma una curva con esta rapidez y la aceleración experimentada por los pasajeros debe limitarse a 0.05 $g$, ¿cuál es el radio de curvatura más pequeño que se puede tolerar para la vía? (b) Si hay una curva con un radio de 0.94 km, ¿cuánto debe reducir su rapidez el tren?

En trenes de pasajeros se deben evitar las aceleraciones grandes, en particular para este tren $a_c\le 0.05g=0.49 m/s^2$(¡qué contraste con el ejercicio anterior!). Una curva es un trozo de circunferencia y por lo tanto se puede ver como movimiento circular el que sigue un vehículo que está tomando esa curva. (a) Si combinamos a (6) con (4) podemos escribir $$\begin{array}{cc}{a}_c=\frac{v^2}{r},& (8)\end{array}$$lo que quiere decir que, para una rapidez constante la aceleración centrípeta es inversamente proporcional al radio y ésto implica

$$\begin{array}{cc}\frac{v^2}{r}\le 0.05g\mathrm{.}& (9)\end{array}$$Tomando el recíproco a ambos lados de la desigualdad y cambiándola de dirección queda$$\frac{r}{v^2}\ge \frac{1}{0.05g},$$finalmente se puede despejar a $r$$$r\ge \frac{v^2}{0.05g}=15,133 m\mathrm{.}$$En conclusión, el radio de curvatura no puede ser menor a 15.13 km, sólo se toleran curvas muy abiertas.

(b) Si llegase a haber la necesidad de construir una curva más cerrada, el tren tendría que disminuir su rapidez lentamente, retomando la expresión (9), pero ahora despejando a $v$ queda$$v\le \sqrt{r\left(0.05g\right)}=21.5 m/s=77.3 km/h,$$a menos de una tercera parte de la rapidez inicial.

3.3 Dinámica del movimiento circular uniforme

El que un movimiento circular uniforme se caracterice por una aceleración centrípeta $a_c={\omega }^{2}r$ significa que la fuerza neta actuando sobre el objeto que sigue este movimiento sea$$F_{neta}=\sum F=m{a}_c$$y su magnitud sea $F_{neta}=m{\omega }^{2}r$. Para que se de un movimiento circular uniforme se necesita una fuerza dirigida hacia el centro del círculo, físicamente esa fuerza puede ser ejercida por la gravedad (en el caso de los planetas), por la tensión de una cuerda, por la fricción con la superficie de apoyo, por la fuerza normal etc. etc.

3.4 Ejemplos de dinámica del movimiento circular uniforme

3.4.1 Ejemplo 1

Un auto circula en la curva de una carretera, plana y horizontal, es la fuerza de fricción estática entre el pavimento y las llantas la que mantendrá al auto sobre la curva. El radio de curvatura es de 70 m y el auto circula con rapidez constante de 60 km/h ¿Qué coeficiente de fricción estática mínimo se requiere, entre las llantas y el pavimento, para que en efecto el auto no se salga de la curva?

     

Figura 8: Vista desde arribe de un auto que circula en la curva de una carretera, plana y horizontal. Es la fuerza de fricción estática entre el pavimento y las llantas la que mantendrá al auto sobre la curva. A la derecha se presenta el diagrama de cuerpo libre.

El diagrama de cuerpo libre se presenta en la figura 8. Al exigir que se cumpla la segunda ley de Newton para este caso, por componentes, la horizontal y vertical, se obtiene$$f_s=m{a}_{c}yN-mg=0.$$Por otro lado, de la fuerza de fricción estática se puede decir que $$f_s<N{\mu }_s\mathrm{.}$$Substituyendo en la expresión anterior lo que se obtiene de la segunda ley, $f_s=m{a}_c$ y $N=mg$, queda$$m{a}_c<mg{\mu }_s,$$ahora dividiendo entre la masa y empleando a (8) para substituir a la aceleración centrípeta queda$$\frac{v^2}{r}<g{\mu }_s\mathrm{.}$$Finalmente se puede despejar al coeficiente ${\mu }_s$$${\mu }_s>\frac{v^2}{gr}=0.405,$$el coeficiente de fricción estática debe ser mayor a 0.405 para que el auto no se salga de la curva. Nótese que el resultado no depende del peso del auto, el coeficiente mínimo es el mismo para cualquier tipo de auto.

3.4.2 Ejemplo 2

Otra curva de la misma carretera tiene algo de peralte para ayudad a apoyar la fuerza centrípeta y disminuir la dependencia en la fricción. Si el radio de curvatura es el mismo, 70 m, y la rapidez también es la misma, de 60 km/h, pero ahora con un peralte de $\theta =$10° ¿Qué coeficiente de fricción estática mínimo se requiere, entre las llantas y el pavimento, para que en efecto el auto no se salga de la curva?

Figura 9: Diagrama de cuerpo libre para la curva peraltada. La fuerza centrípeta debe apuntar hacia el centro de la curva.

El peralte es la inclinación del perfil de la carretera, hacia el centro de la curvatura, para ayudar a que los vehículos no se salgan de la curva. Para resolver este ejercicio conviene elegir al eje $x$ paralelo al pavimento y al $y$ perpendicular, como se ilustra en 9. Al exigir que se cumpla la segunda ley de Newton para este caso, en las componentes $x$ y $y$, se obtiene $$\begin{array}{cc}{f}_s+mgsin\theta =m{a}_{c}cos\theta & (10)\end{array}$$y $$\begin{array}{cc}N-mgcos\theta =m{a}_{c}sin\theta \mathrm{.}& (11)\end{array}$$Nuevamente se debe tomar en cuenta el comportamiento de la fuerza de fricción estática $$\begin{array}{cc}{f}_s<N{\mu }_s,& (12)\end{array}$$despejando a $f_s$ de (10) y a $N$de (11) para luego substituir en (12) se obtiene$$m{a}_{c}cos\theta -mgsin\theta <\left(m{a}_{c}sin\theta +mgcos\theta \right){\mu }_s,$$expresión que se puede simplificar y luego despejar a ${\mu }_s$$${\mu }_s>\frac{v^{2}cos\theta -rgsin\theta }{v^{2}sin\theta +rgcos\theta }=\mathrm{0.213.}$$Ahora tan sólo se necesita un coeficiente de fricción estática mínimo de ${\mu }_s=$ 0.213.

3.4.3 Ejemplo 

 

Un auto de masa $m=1600 kg$, se mueve con rapidez constante sobre una carretera recta pero montañosa. Una sección tiene una cresta y un valle del mismo radio de curvatura $R=250 m$, véase la figura. (a) Cuando el auto pasa sobre la cresta, la magnitud de la fuerza normal sobre el auto es de la mitad de su peso. ¿Cuál será la magnitud de la fuerza normal sobre el auto al pasar por el fondo del valle? (b) ¿Cuál es la rapidez máxima a la que el auto puede circular en la parte más alta de la cresta sin separarse de la carretera? (c) Moviéndose con la rapidez hallada en el inciso anterior, ¿cuál sería la magnitud de la fuerza normal que actúa sobre el auto cuando va por el fondo del valle? 

 El diagrama de cuerpo libre para el auto sobre la carretera, en los dos casos mencionados, se muestra a continuación 10.

 

 Figura 10: Diagrama de cuerpo libre para el auto en la carretera recta pero montañosa, tanto en la cresta como en el fondo del valle.

La fuerza de fricción está presente y ésta actúa para poder mantener una rapidez constante aunque haya desniveles. Sin embargo, no se muestra en el diagrama pues no afecta a la normal directamente.

(a) Dado que se trata de movimiento circular uniforme la aceleración debe dirigirse hacia el centro del círculo y su magnitud debe ser $a_c=R{\omega }^2=\frac{v^2}{R}$. La segunda ley de Newton para el caso de la cresta queda $$\begin{array}{cc}{N}_1-mg=-m\frac{v^2}{R}& (13)\end{array}$$y para el fondo $$\begin{array}{cc}{N}_2-mg=m\frac{v^2}{R}\mathrm{.}& (14)\end{array}$$De la primera de las dos expresiones anteriores (13) se puede despejar la rapidez$$v=\sqrt{R\left(g-\frac{N_1}{m}\right)}$$y como la normal tiene una magnitud de la mitad de su peso$$v=\sqrt{R\left(g-\frac{mg/2}{m}\right)}=\sqrt{\frac{gR}{2}}=35 m/s=126 km/h\mathrm{.}$$De (14) se puede despejar $N_2$$$N_2=m\left(g+\frac{v^2}{R}\right),$$si con esa misma rapidez circula por el fondo del valle la magnitud de la normal es $N_2=23,520 N=2,400 kg fuerza,$mucho mayor que su peso.

(b) Cuando el auto pierde contacto con la carretera la fuerza normal se anula, ya que no hay apoyo, así que (13) queda$$g=\frac{v^2}{R},$$así que$$v=\sqrt{gR}=49.5 m/s=178.2 km/h\mathrm{.}$$A mayor velocidad el auto “saltaría” de la cresta. (c) Con esa rapidez la magnitud de la fuerza normal en el fondo del valle es por (14)$$N_2=m\left(g+\frac{v^2}{R}\right)=31,360 N=3,200 kg fuerza,$$el doble de su peso.

3.5 Movimiento circular con aceleración angular constante

De manera similar al movimiento acelerado, en el que $a=\frac{dv}{dt}$, en el movimiento circular la velocidad angular puede cambiar y ese cambio se refleja en una aceleración angular $\alpha =\frac{d\omega }{dt}$. Si esta aceleración angular es constante, en analogía a un movimiento con aceleración constante, las ecuaciones que describen el movimiento circular son $$\begin{array}{cc}\omega \left(t\right)=\alpha t+{\omega }_0& (15)\end{array}$$y $$\begin{array}{cc}\theta \left(t\right)=\frac{1}{2}\alpha t^2+{\omega }_{0}t+{\theta }_0\mathrm{.}& (16)\end{array}$$

3.5.1 Posición

La posición, como vector, en un movimiento circular con aceleración angular constante centrado en el origen es$$r\left(t\right)=r\left[cos\left(\frac{1}{2}\alpha t^2+{\omega }_{0}t+{\theta }_0\right)\hat{i}+sin\left(\frac{1}{2}\alpha t^2+{\omega }_{0}t+{\theta }_0\right)\hat{j}\right],$$como en el movimiento circular uniforme su magnitud es $r$ y su dirección es central hacia afuera.

3.5.2 Velocidad

Debido a que la velocidad es la razón de cambio de la posición en el tiempo $v=\frac{dr}{dt},$$$v\left(t\right)=r\left(\alpha t+{\omega }_0\right)\left[-sin\left(\frac{1}{2}\alpha t^2+{\omega }_{0}t+{\theta }_0\right)\hat{i}+cos\left(\frac{1}{2}\alpha t^2+{\omega }_{0}t+{\theta }_0\right)\hat{j}\right]\mathrm{.}$$Aquí la magnitud de la velocidad es $v=r\left(\alpha t+{\omega }_0\right)$ y su dirección es tangencial, como en el caso del movimiento circular uniforme.

3.5.3 Aceleración

La aceleración es $a=\frac{dv}{dt}$ pero esta vez al derivar el vector velocidad respecto al tiempo aparecerán más términos$$a\left(t\right)=r\alpha \left[-sin\left(\frac{1}{2}\alpha t^2+{\omega }_{0}t+{\theta }_0\right)\hat{i}+cos\left(\frac{1}{2}\alpha t^2+{\omega }_{0}t+{\theta }_0\right)\hat{j}\right]+$$$$-r\left(\alpha t+{\omega }_0\right)\left[cos\left(\frac{1}{2}\alpha t^2+{\omega }_{0}t+{\theta }_0\right)\hat{i}+sin\left(\frac{1}{2}\alpha t^2+{\omega }_{0}t+{\theta }_0\right)\hat{j}\right]\mathrm{.}$$Los términos del renglón de arriba corresponden a un vector con dirección tangencial que tiene magnitud $\left|r\alpha \right|$, a esa parte de la aceleración se le llama aceleración tangencial $a_t=r\alpha$. El renglón de abajo no es otra cosa que la aceleración centrípeta pues $\omega =\alpha t+{\omega }_0$. Para abreviar se puede escribir

$$a\left(t\right)=a_c+a_t=-r{\omega }^2{\hat{e}}_r+r\alpha {\hat{e}}_{\theta },$$donde $a_c$ representa la aceleración centrípeta y $a_t$ la tangencial, los vectores unitarios ${\hat{e}}_r$ y ${\hat{e}}_{\theta }$ apuntan en dirección radial y tangencial respectivamente.

3.6 Cinemática de la rotación

Un cuerpo rígido además de trasladarse puede rotar, este movimiento de rotación es aquel en que todas las partículas que conforman el cuerpo rígido giran con la misma velocidad angular en torno a un eje común. Si $\omega$ no es constante, tendrán todas las partículas del cuerpo rígido la misma aceleración angular $\alpha$. Si bien todas las porciones del cuerpo rígido giran con la misma $\omega$ y la misma $\alpha$, tienen distinta rapidez $v$, dado que ésta depende del radio de giro $v=\omega r$, también tienen distinta aceleración centrípeta $a_c={\omega }^{2}r$ y distinta aceleración tangencial $a_t=r\alpha$. 

 

Figura 11: En un juego rotatorio como el de la fotografía, todos los chicos llevan la misma velocidad angular, sin embargo los que van más afuera recorren más metros por segundo que los que están más hacia el centro. También, los que van más afuera tienen que asirse más fuertemente para no caer que los que están más hacia el centro. Se puede ver un video con niños pasándola bien en juegos rotatorios en https://vimeo.com/383622738.

3.7 Ejemplos de rotaciones y aceleración angular uniforme

3.7.1 Ejemplo 1

El volante de un motor está girando a $\omega =$ 25.2 rad/s cuando se apaga el motor, el volante desacelera a razón constante y se detiene después de un tiempo de 19.7 s. Calcule (a) la aceleración angular $\alpha$ (en $rad/s^2$) del volante, (b) el ángulo $\theta$ (en radianes) que gira el volante antes de detenerse, y (c) el número de revoluciones que completa el volante hasta el reposo.

(a) Si la aceleración angular es uniforme (constante) está dada por (15) $\alpha =\frac{{\omega }_f-{\omega }_i}{\Delta t}=-1.28 rad/s^2$. (b) Para un movimiento con aceleración angular uniforme, el ángulo como función del tiempo está dado por (16) $\Delta \theta =\frac{1}{2}\alpha t^2+{\omega }_{0}t=248 rad$. (c) Cada revolución corresponde a $2\pi$ radianes, de modo que gira 39.5 revoluciones (completa 39).

3.7.2 Ejemplo 2

Uno de los primeros métodos para medir la velocidad de la luz utiliza una rueda dentada giratoria. Un haz de luz pasa a través de una ranura en el borde exterior de la rueda, como la de la figura, viaja a un espejo distante y regresa a la rueda justo a tiempo para pasar por la siguiente ranura de la rueda. Una de esas ruedas dentadas tiene un radio de 5.0 cm y 500 dientes en su borde. Las medidas tomadas cuando el espejo estaba a una distancia L = 500 m de la rueda indicaron una velocidad de la luz de $3.0\times 10^5 km/s$. (a) ¿Cuál era la velocidad angular (constante) de la rueda? (b) ¿Cuál fue la velocidad lineal de un punto en su borde?

  

 Figura 12: Midiendo la rapidez de la luz con unz rueda dentada

La distancia que recorre la luz entre que sale por la rendija y vuelve por la siguiente es $2L$, lo hace en un cierto tiempo $\Delta t$, de modo que $c=\frac{2L}{\Delta t}$, donde $c$ es la velocidad medida de la luz. De la ecuación anterior podríamos despejar a $\Delta t$ para conocer el intervalo de tiempo que tarda la luz en volver, pero nos interesa calcular la rapidez angular, no el tiempo. Es posible escribir a $\Delta t$ en función de $\omega$ si consideramos que el tiempo que pasa, entre que una rendija y la siguiente están frente a la lente, es el período dividido entre 500 $\Delta t=\frac{T}{500}$. Estudiando la tabla 1 podemos escribir $\omega =2\pi \nu =\frac{2\pi }{T}$ y por lo tanto concluir que $T=\frac{2\pi }{\omega }$. Ya con todo esto$$c=\frac{2L}{\Delta t}=\frac{2L}{\frac{T}{500}}=\frac{2L}{\left[\frac{\left(\frac{2\pi }{\omega }\right)}{\left(500\right)}\right]}=\frac{2L}{\frac{2\pi }{\left(500\right)\omega }}=\frac{\left(500\right)L\omega }{\pi },$$si ahora despejamos la incógnita que es $\omega$ queda

$$\omega =\frac{c\pi }{\left(500\right)L}=3770 rad/s$$y de paso la frecuencia angular se puede encontrar dividiendo entre $2\pi$, $\nu =$600 $rev/s\mathrm{. }$(dentro del rango de una licuadora) (b) La rapidez lineal en el borde de la rueda dentada es, por (4), $v=r\omega =188 m/s$. En kilómetros por hora serían $679 km/h$, cerca de la velocidad de crucero de un avión jet comercial. Es interesante calcular el grosor de las cerdas que hay entre rendijas. El perímetro de una circunferencia de 5.0 cm de radio es 0.314 m, si dividimos este perímetro en 500 partes quedan 0.628 mm, tan sólo como medio milímetro, así que dichas cerdas deben ser más delgadas que medio milímetro.

3.7.3 Ejemplo 3

Un disco fonográfico en un tocadiscos gira a 33 y $\frac{1}{2}$ rev/min. (a) ¿Cuál es la velocidad angular en rad/s? ¿Cuál es la rapidez lineal de un punto en el registro en la aguja en (b) el comienzo y (c) el final del registro? Las distancias de la aguja desde el eje del plato giratorio son 15 cm y 7.4 cm, respectivamente, para estas dos posiciones. (d) Halle la aceleración en cada una de estas dos posiciones.

Para encontrar la velocidad angular hay que transformar de revoluciones a radianes y de minutos a segundos $\omega =\frac{\left(33.5\right)2\pi }{60 s}=3.51 rad/s\mathrm{.}$ Con la rapidez angular se puede calcular la rapidez lineal (4) $v=r\omega$ y la aceleración centrípeta (6) $a_c=r{\omega }^2$. El resultado para ambas secciones del disco LP se muestran en la figura.

Figura 13: Rapidez lineal y aceleración centrípeta en ambos extremos (los que barre la aguja) de un disco LP de vinilo.

3.7.4 Ejemplo 4

Un astronauta está entrenando en una centrífuga. La centrífuga tiene un radio de $r$ = 10.4 m y, al arrancar, gira según $\theta \left(t\right)=\left(0.326 rad/s^2\right)t^2$, donde $t$ está en segundos. Cuando $t$ = 5.60 s, ¿cuáles son (a) la rapidez angular, (b) la rapidez tangencial, (c) la aceleración tangencial y (d) la aceleración centrípeta del astronauta?

La rapidez angular es $\omega \left(t\right)=\frac{d\theta }{dt}=\left(0.652 rad/s\right)t$, si $t$ = 5.60 s entonces $\omega \left(t=5.60 s\right)=3.65 rad/s\mathrm{.}$ La aceleración angular $\alpha \left(t\right)=\frac{d\omega }{dt}=\left(0.652{ rad/s}^2\right)$ es constante. Cuando $t$ = 5.60 s, la rapidez tangencial es $v=r\omega =38.0 m/s$, y la aceleración centrípeta $a_c=r{\omega }^2=138{ m/s}^2$(¡son 14 $g$!). La aceleración tangencial es constante $a_t=r\alpha =6.78{ m/s}^2$.