5 Movimiento oscilatorio

 

 

Tabla de Contenidos

• 5.1 La ecuación de movimiento del oscilador armónico
  
• 5.2 Consideraciones energéticas en el movimiento armónico simple.
• 5.3 Distintos tipos de osciladores
  

5 Movimiento oscilatorio

5.1 La ecuación de movimiento del oscilador armónico

La fuerza que ejerce un resorte sobre un objeto es proporcional a su deformación, si la posición del objeto es $x=0$ cuando el resorte está relajado, lo anterior se puede representar con una ecuación muy sencilla$$F=-kx$$y si la también la fuerza del resorte es la fuerza neta se tiene que $ma=-kx$, es decir $$\begin{array}{cc}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx,& (1)\end{array}$$lo cual representa una ecuación diferencial. Esta ecuación expresa que la posición en función del tiempo $x\left(t\right)$ es proporcional a su segunda derivada, además que la constante de proporcionalidad es real y negativa. Dentro del conjunto de los números reales, las funciones que cumplen con esta condición son las funciones armónicas. Considérese la siguiente función armónica como ejemplo $$\begin{array}{cc}x\left(t\right)=Acos\left(\omega t+\delta \right),& (2)\end{array}$$donde $A$, $\omega$ y $\delta$ son constantes, su primera y segunda derivada son, respectivamente, $$\begin{array}{cc}\frac{dx}{dt}=v\left(t\right)=-A\omega sin\left(\omega t+\delta \right)& (3)\end{array}$$y $$\begin{array}{cc}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=a\left(t\right)=-A{\omega }^{2}cos\left(\omega t+\delta \right)\mathrm{.}& (4)\end{array}$$Claramente se cumple que $$\begin{array}{cc}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-{\omega }^{2}x,& (5)\end{array}$$si se establece $$\begin{array}{cc}{\omega }^2=\frac{k}{m},& (6)\end{array}$$esta ecuación es equivalente a (1), entonces podemos decir que $x\left(t\right)=Acos\left(\omega t+\delta \right)$ es solución de (1), si $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$. Nótese que si el ejemplo de función armónica hubiese sido $x\left(t\right)=Asin\left(\omega t+\delta \right),$también se hubiese cumplido (5). En la figura 1 se ilustra el movimiento armónico en una dimensión.

 

Figura 1: Movimiento armónico en una dimensión, sobre el eje horizontal se representa el tiempo. Se puede la animación original en https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simple_harmonic_motion_animation.gif .

Pero ¿qué significan físicamente las tres constantes $A$, $\omega$ y $\delta$?

La constante $\omega$

A la cantidad $\omega$ se le llama frecuencia angular, debe estar en unidades que correspondan a radianes sobre tiempo e indica qué tan rápido varía la fase. En la figura 2 se muestran varias sinusoidales con diferentes valores de $\omega$. Otra cantidad estrechamente emparentada con $\omega$ es la frecuencia $\nu$, que se mide en ciclos por segundo (o bien Hertz, abreviándose como Hz), de manera que $\omega =\left(2\pi \right)\nu$, ya que hay $2\pi$ radianes por cada ciclo. El período $T$, que es el tiempo que tarda en completarse una oscilación entera, se relaciona con la frecuencia y la frecuencia angular de la siguiente manera $$\begin{array}{cc}T=\frac{1}{\nu }=\frac{2\pi }{\omega }\mathrm{.}& (7)\end{array}$$ 

Figura 2: Varias sinusoidales con diferentes valores de la frecuencia angular: $\omega =1,2$ y $3$ radianes sobre segundo.

La constante $A$

A la cantidad $A$ se le llama amplitud, es el valor absoluto del máximo y/o mínimo de la función sinusoidal. En la figura 3 se muestran varias sinusoidales con distintas amplitudes. 

 

Figura 3: Varias sinusoidales con diferentes valores de la amplitud: $A=1,2$ y $3$. Aquí la frecuencia es la misma $\omega =1 rad/s$.

La constante $\delta$

A la cantidad $\delta$ se le llama constante de fase e indica que tan desplazada está está la sinusoidal hacia la derecha o izquierda en el eje del tiempo. En al figura 4 se muestran varias sinusoidales con diferentes constantes de fase. 

 

Figura 4: Varias sinusoidales con diferentes valores de la constante de fase. Aquí la frecuencia es la misma $\omega =1 rad/s$ y la amplitud también.

5.1.1 Ejemplos de resortes como osciladores

Un oscilador de resorte

Un oscilador consta de un bloque de 512 g de masa unido a un resorte. Cuando es puesto en oscilación con una amplitud de 34.7 cm, se observa que repite su movimiento cada 0.484 s. Halle (a) el periodo, (b) la frecuencia, (c) la frecuencia angular, (d) la constante de fuerza del resorte, (e) la velocidad máxima, y (f) la fuerza máxima ejercida sobre el bloque.

 Figura 5: Se puede ver la animación original del resorte oscilando en https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d5/Animated-mass-spring-faster.gif

(a) Si repite su movimiento cada 0.484 s, significa que ese es su período $T=0.484 s$. (b) y (c) Empleando las relaciones (7) se tiene que $\nu =2.07 Hz$ y $\omega =13.0 rad/s$. (d) Tomando en cuenta a (6) se puede encontrar la constante del resorte $k=86.3 N/m$. (e) Observando la ecuación (3), dado que las funciones seno y coseno no pueden tener un valor mayor a la unidad, nos damos cuenta que el máximo valor posible para la velocidad es $A\omega =4.50 m/s$. (f) La fuerza de un resorte es proporcional a su deformación, la máxima fuerza ejercida debe darse cuando la deformación es máxima también. Si miramos la ecuación (2) nos damos cuenta que el máximo valor posible de la posición es la amplitud por lo que la magnitud máxima de la fuerza es $\left|F_{max}\right|=k{x}_{max}=kA\mathrm{.}$

La suspensión de un automóvil

Puede considerarse que un automóvil está montado sobre cuatro resortes en lo que respecta a oscilaciones verticales. Los resortes de cierto automóvil de $m_a=1460 kg$ de masa, están ajustados de modo que las vibraciones tengan una frecuencia de 2.95 Hz. (a) Halle la constante de fuerza de cada uno de los cuatro resortes (supuestos idénticos). (b) ¿Cuál será la frecuencia de vibración si viajan en el automóvil cinco personas con una masa promedio de $m_p=73.2 kg$ cada una? 

 

Figura 5: Puede considerarse que un automóvil está montado sobre cuatro resortes en lo que respecta a oscilaciones verticales. Se puede la animación original en https://usagif.com/car-driving-gifs/.

(a) Debemos tener presente que una frecuencia de $\nu =2.95 Hz$ corresponde a una frecuencia angular de $\omega =2\pi \nu =18.5 rad/s$. Los cuatro resortes, cada uno de constante $k$, forman un sistema de resortes de constante $4k$, ya que juntos ejercen una fuerza cuatro veces mayor que cada uno de ellos por separado. Aplicando (6) al sistema de resortes se obtiene$${\omega }^2=\frac{4k}{m_a}$$y depejando a $k$$$k=\frac{m_a{\omega }^2}{4}=125400 N/m\mathrm{.}$$(b) La masa total del auto con cinco personas es $m_t=m_a+5m_p=1826 kg$. Empleando (6) con la masa total permite encontrar la nueva frecuencia angular$${\omega }_{nueva}=\sqrt{\frac{4k}{m_t}}=16.5 rad/s\mathrm{.}$$La frecuencia correspondiente en hertz es$${\nu }_{nueva}=\frac{{\omega }_{nueva}}{2\pi }=2.63 Hz\mathrm{.}$$

5.2 Consideraciones energéticas en el movimiento armónico simple

La energía mecánica total es la suma de la potencial con la cinética, sabemos que para el resorte la energía potencia es proporcional al cuadrado de la deformación$$U_r=\frac{1}{2}k{x}^2\mathrm{.}$$Dado que la energía cinética es $K=\frac{1}{2}m{v}^2$, la energía mecánica total es $$\begin{array}{cc}E=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2\mathrm{.}& (8)\end{array}$$Si empleamos (2) y (3) para substituir en (8) queda$$E=\frac{1}{2}m{\left(-A\omega sin\left(\omega t+\delta \right)\right)}^2+\frac{1}{2}k{\left(Acos\left(\omega t+\delta \right)\right)}^2,$$dado que $k=m{\omega }^2$ lo anterior se puede reescribir como$$E=\frac{1}{2}m{\omega }^2{\left(Asin\left(\omega t+\delta \right)\right)}^2+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\left(Acos\left(\omega t+\delta \right)\right)}^2,$$expresión que se puede simplificar mucho tomando en cuenta la identidad $1={sin}^2\theta +{cos}^2\theta$$$E=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2=\frac{1}{2}k{A}^2\mathrm{.}$$Dado que $A$ y $k$ son constantes, la energía mecánica total se conserva. Las gráfica de las energías potencial, cinética y total del oscilador como función del tiempo y la posición se muestran en la figura 6. 

Figura 6: Las gráficas de las energías potencial, cinética y total del oscilador como función del tiempo y la posición.

5.2.1 Ejemplos que involucran resortes y energía mecánica

La energía en el movimiento oscilatorio de un resorte

Se tiene un resorte de $k=220 N/m$ y se le acopla un objeto de masa $m=2.43 kg$ en su extremo. Dicho sistema bloque-resorte se estira en la dirección positiva del eje $x$ una distancia de $11.6 cm$ a partir de la posición de equilibrio y luego se suelta. (a) ¿Cuál es la energía total almacenada en el sistema? (b) ¿Cuál es la rapidez máxima que puede alcanzar el bloque? (c) ¿Cuál es su aceleración máxima? (d) Si se suelta el bloque al tiempo $t=0.0 s$, ¿cuáles son su posición, su velocidad, y su aceleración en $t=0.215 s$?

(a) La energía total es igual a la máxima energía potencial, que se da cuando la extensión es máxima, es decir cuando $x=A=11.6 cm=0.116 m$, por lo que$$E=\frac{1}{2}k{A}^2=1.48 J\mathrm{.}$$(b) Dado que la energía cinética es proporcional al cuadrado de la rapidez, la rapidez máxima se da cuando la energía cinética es máxima. La energía cinética máxima se da cuando se anula la energía potencial, por lo tanto la energía cinética máxima es numéricamente igual a la energía mecánica total $$K_{max}=1.48 J\mathrm{.}$$Como $K_{max}=\frac{1}{2}m{v}_{max}^2$, la rapidez correspondiente debe ser$$v_{max}=\sqrt{\frac{2}{m}{K}_{max}}=1.104 m/s\mathrm{.}$$(c) La máxima aceleración se da cuando la fuerza es máxima y ésto ocurre cuando el resorte tiene su deformación máxima$$F_{max}=m{a}_{max},$$pero $\left|F_{max}\right|=kA$ por lo que$$a_{max}=\frac{k}{m}A=10.5 m/s^2\mathrm{.}$$(d) Si la posición inicial es la máxima, es la función coseno la que describe correctamente el movimiento correspondiente para $x\left(t\right)$$$x\left(t\right)=Acos\left(\omega t\right)=Acos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right),$$la derivada temporal es la velocidad$$v\left(t\right)=-A\sqrt{\frac{k}{m}}sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right),$$y la siguiente derivada es la aceleración$$a\left(t\right)=-\frac{Ak}{m}cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)\mathrm{.}$$Si se substituye el tiempo $t=0.215 s$ se obtiene $x=-0.0530 m$, $v=-0.982 m/s$ and $a=4.80 m/s^2$.

5.3 Distintos tipos de osciladores

Ahsta ahora sólo hemos hablado del resorte como ejemplo de un dispositivo que oscila armónicamente, pero hay otros tipos de osciladores que nos son familiares.

5.3.1 Péndulo de torsión

 

Figura 7: Un péndulo de torsión. La animación original se puede ver en https://www.physicslens.com/wp-content/uploads/2021/12/torsional_pendulum.gif

 El péndulo de torsión consiste en un hilo o alambre suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo, al girar este cuerpo un ángulo inicial y luego soltarlo empezará a girar primero en una dirección y luego en la otra, lo que se puede ver como una oscilación. La torsión del hilo ejerce una torca sobre el cuerpo, al que se le puede asignar una inercia rotacional, de modo que $$\tau =-\kappa \mathrm{\theta ,}$$donde $\tau$ es la torca, $\kappa$ es una constante que depende de las propiedades del alambre y $\theta$ es el desplazamiento angular. Dado que $\tau =I\alpha$ y que $\alpha =\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$, la ecuación diferencial correspondiente es $$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{\kappa }{I}\theta \mathrm{.}$$La solución a esta ecuación diferencial es la misma que se ha visto en ejemplos anteriores

$$\theta \left(t\right)=Acos\left(\omega t+\delta \right),$$pero aquí

$$\omega =\sqrt{\frac{\kappa }{I}}$$

y la amplitud es el desplazamiento angular máximo.

5.3.2 Péndulo simple 

El péndulo simple es otro sistema mecánico que presenta movimiento armónico. Éste consiste de una masa $m$, que se puede pensar como la de una partícula suspendida por una cuerda ligera de longitud $L$, que se fija en el extremo superior. El movimiento se produce en el plano vertical y es impulsado por la fuerza de gravedad. Demostraremos que, siempre que el ángulo $\theta$ sea pequeño (menos de aproximadamente de 10 °), el movimiento se parece mucho al de un oscilador armónico.

          

Figura 8: Péndulo simple y una animación del mismo. Se puede acceder a la animación original en https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Simple_Pendulum.gif.

En la unidad “Dinámica rotacional” Hemos visto que la magnitud de la torca que ejerce la gravedad sobre un péndulo simple es$$\left|\stackrel{⟶}{\tau }\right|=Lmgsin\theta \mathrm{.}$$De nuestra experiencia sabemos que la gravedad tiende a hacer regresar al péndulo a su posición vertical y ésto implica que la torca tiene el signo opuesto del desplazamiento angular$$\tau =-Lmgsin\theta \mathrm{.}$$

Empleando $\tau =I\alpha$ se tiene$$I\alpha =-Lmgsin\theta ,$$pero $I=m{L}^2$ y $\alpha =\frac{a}{L}$ entonces$$\left(m{L}^2\right)\alpha =-Lmgsin\theta ,$$que después de simplificar queda$$\alpha =-\frac{g}{L}sin\theta \mathrm{.}$$Sabemos que $\alpha =\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$, por lo que$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{g}{L}sin\theta \mathrm{.}$$La anterior no es la ecuación diferencial del oscilador armónico, pero si $\theta$ es lo suficientemente pequeña para que la aproximación $sin\theta \approx \theta$ sea válida$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\approx -\frac{g}{L}\theta$$y ésta última ecuación sí es la del oscilador armónico, siendo su solución$$\theta \left(t\right)=Acos\left(\omega t+\delta \right),$$donde $$\omega =\sqrt{\frac{g}{L}}\mathrm{.}$$

5.3.3 Péndulo físico

También en la unidad “Dinámica rotacional” hemos visto que la torca que ejerce la gravedad sobre un objeto rígido extendido se puede calcular como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa. De manera que $$\tau =dmgsin\theta ,$$donde $d$ de es la distancia entre el eje de rotación y el centro de masa.

 Figura 9: Péndulo físico.

 

Al igual que en el péndulo simple, sólo si $\theta$ es pequeño se puede escribir$$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\approx -\frac{dmg}{I}\theta ,$$

siendo la solución de la misma forma$$\theta \left(t\right)=Acos\left(\omega t+\delta \right),$$donde

$$\omega =\sqrt{\frac{dmg}{I}}\mathrm{.}$$

 

Figura 10: Péndulo físico en la vida real, la animación original se puede ver en https://gifer.com/es/9OaO.
 

5.3.4 Ejemplos de osciladores varios

El disco pivotado por un punto en su periferia

Un disco de densidad uniforma es pivotado en su borde. Halle su frecuencia angular para oscilaciones pequeñas, en términos de su radio, y luego halle su período.

  Figura 11: Disco de densidad uniforme pivotado por su borde.

La inercia rotacional de un disco que gira alrededor de su centro de masa es $\frac{1}{2}M{R}^2$, si gira alrededor de un eje que pasa por su borde se debe aplicar el teorema de los ejes paralelos para encontrar su inercia rotacional$$I=\frac{1}{2}M{R}^2+M{R}^2=\frac{3}{2}M{R}^2\mathrm{.}$$Para un péndulo físico $\omega =\sqrt{\frac{dmg}{I}}$,$$\omega =\sqrt{\frac{RMg}{\frac{3}{2}M{R}^2}}=\sqrt{\frac{2g}{3R}}$$y por lo tanto el período es $$T=\frac{2\pi }{\sqrt{\frac{2g}{3R}}}=\pi \sqrt{\frac{6R}{g}}\mathrm{.}$$