6 Ondas

 

Ondas

6.1 ¿Qué es una onda?

Los fenómenos ondulatorios consisten en la propagación de una perturbación en el espacio, pudiendo implicar un transporte de energía aunque no haya transporte de materia. Por ejemplo, las olas sobre la superficie del océano viajan miles de kilómetros, pero las moléculas de agua no llevan a cabo este viaje. Cuando hablamos, nuestra voz cruza la habitación pero las partículas que conforman el aire no se desplazan esa distancia. La perturbación pude ser de densidad, presión, campos electromagnéticos etc. La cantidad física, cuya perturbación se propaga en el medio, se expresa como una función tanto de la posición como del tiempo $F\left(r,t\right)$. Matemáticamente se dice que dicha función es una onda si cumple con la ecuación de onda: $$\begin{array}{cc}{\nabla }^{2}F\left(r,t\right)=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}F\left(r,t\right)}{\partial t^2},& (1)\end{array}$$donde $v$ es la rapidez de propagación de la perturbación. La anterior es la llamada ecuación de onda en tres dimensiones, se trata de una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Es diferencial pues relaciona el comportamiento de una función con sus derivadas (derivadas parciales o totales), es de segundo orden pues su derivada de orden más alto es una segunda derivada y es lineal porque no hay términos que contengan productos de la función con ella misma o con sus derivadas. La versión más simple de la ecuación de onda, es la que sólo involucra una dimensión espacial y se le llama ecuación de onda en una dimensión

$$\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}F\left(x,t\right)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}F\left(x,t\right)}{\partial t^2}\mathrm{.}& (2)\end{array}$$Encontrar la solución general de la ecuación de onda en una dimensión es sumamente sencillo. Imaginemos una función arbitraria de la variable $x$, puede tener cualquier forma, ahora traslademos la función hacia la derecha del eje $x$ una distancia $d$ que vaya aumentando con el tiempo $d=vt$.

El resultado es $$F\left(x,t\right)=F\left(x-vt\right),$$el bosquejo de un ejemplo se muestra en la figura 1. Si derivamos esta función parcialmente respecto del tiempo y de la posición, dos veces, notaremos que se cumple la ecuación de onda unidimensional (2), sin importar la forma que tenga la función, sólo hace falta que la perturbación se propague, sin deformarse, con velocidad constante. La propagación puede darse hacia la derecha o la izquierda del eje $x$, de cualquier manera se cumple (2).

 

Figura 1: Perturbación que viaja.

6.1.1 Principio de superposición

Dado que las ecuaciones de onda (1) y (2), son ecuaciones diferenciales lineales, cualquier función que sea solución de una de ellas, si se multiplica por una constante, el producto que queda también será solución. Es más, si se tienen dos funciones que son soluciones de la misma ecuación de onda, su producto también es solución. De manera más general, cualquier combinación lineal de soluciones, también es solución. Por ejemplo, si $A$ y $B$ son constantes, y además $f\left(x-vt\right)$ y $g\left(x-vt\right)$ son soluciones de la ecuación de onda en una dimensión,$$F\left(x-vt\right)=Af\left(x-vt\right)+Bg\left(x-vt\right)$$también es solución de esa ecuación.

6.1.2 Tipos de ondas

Se clasifican las ondas con distintos criterios. Se les llama transversales cuando la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación de la onda y longitudinales cuando van en la misma dirección. También se distinguen las ondas por la cantidad física que corresponde a la perturbación y/o el medio en el que se propagan, algunos ejemplos se muestran en la figura 2.

 

Figura 2: Ejemplos de tipos de ondas.

6.2 Ondas sinusoidales

Una forma muy simple de onda es la que tiene forma de una sinusoidal$$F\left(x,t\right)=Asin\left(kx-\omega t+\delta \right),$$donde $A$, $k$, $\omega$, y $\delta$ son constantes. Es sencillo describir la propagación de una onda de este estilo, además gracias al principio de superposición, se pueden sumar sinusoidales para lograr perfiles muy diversos. En la figura 3 se muestra como sumando varias sinusoidales se puede generar un perfil de onda cuadrada, mediante la técnica llamada series de Fourier. 

 

Figura 3: Suma de sinusoidales para generar un perfil de onda cuadrada. La línea azul es la onda cuadrada y la línea roja es la suma de una, dos, tres y cuatro sinoidales diferentes. La figura original está en https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fourier_Series.svg.

En una onda sinusoidal se pueden distinguir varias cantidades características, representadas por las constantes $A$, $k$, $\omega$, y $\delta$:

• La constante $A$ es la llamada amplitud de la onda y es el tamaño de la onda sobre eje que le corresponde a la función $F\left(x,t\right)$.
• La $k$ representa al número de onda y es el número de radianes que se cubren por unidad de distancia en un determinado instante. Si se divide $k$ entre $2\pi$ se obtienen los ciclos completos por unidad de distancia. La distancia que mide un ciclo completo es la longitud de onda $\lambda$ y se relaciona con $k$ de la siguiente manera $\lambda =\frac{2\pi }{k}$.
• La $\omega$ representa la frecuencia angular, es el número de radianes que pasan por unidad de tiempo si uno se instala para observar la onda en un determinado punto del eje $x$. Si se divide a $\omega$ entre $2\pi$ se obtiene la fercuencia $\nu$, que son los ciclos completados por unidad de tiempo.
• La $\delta$ es la llamada constante de fase y desplaza la onda hacia la derecha o izquierda respecto de una función sinusoidal típica, que tiene su cero en el origen, al tiempo $t=0$.

En la figura 4 se bosqueja una onda sinusoidal, destacando la amplitud y la longitud de onda. La rapidez de propagación de la onda se puede obtener de multiplicar a la longitud de onda por la frecuencia $$\begin{array}{cc}v=\lambda \nu \mathrm{.}& (3)\end{array}$$$$\begin{array}{c} \end{array}$$$$\begin{array}{c}\end{array}$$

Figura 4: Onda sinusoidal, se destaca la amplitud $A$ y la longitud de onda $\lambda$.

 

6.2.1 Ejemplos de ondas sinusoidales

El bote en el agua

Al mecer un bote, un niño produce ondulaciones sobre la superficie del agua de un lago previamente tranquilo. Se observa que el bote produce 12 oscilaciones en 30 s, también que la cresta de una onda determinada llega en 5 s a la orilla, que está alejada 15 mdel bote. Halle (a) la frecuencia, (b) la rapidez de propagación, y (c) la longitud de onda de las ondas.

(a) Son 12 ciclos en 30 segundos, por lo que la frecuencia es $\nu =\frac{12}{30}$ Hz, es decir 0.4 Hz. (b) La rapidez de propagación se puede encontrar fácilmente dado que sabemos que la onda cunbre una distancia de 15 metros en en 5 segundos $v=3.0$ m/s. (c) La relación (3) nos permite encontrar la longitud de onda $\lambda =\frac{v}{\nu }=\frac{3.0}{0.4}$ m es decir 7.5 m.

6.3 Ondas en una cuerda tensa

Seguramente hemos tenido la experiencia de ver cómo una cuerda tensa oscila al transmitirse perturbaciones a lo largo de ella. Las ondas elásticas que se propagan sobre la cuerda son ondas transversales. Imaginemos una perturbación viajando como lo ilustra la figura 5 y pensemos como actúa la tensión sobre dicha perturbación.

 

Figura 5: Una perturbación viajando a lo largo de una cuerda.

La componente de la tensión perpendicular a la cuerda que actúa sobre un elemento $dl$ es $$T_{\perp }=2Tsin\theta \mathrm{.}$$Como para un elemento diferencial de la cuerda el ángulo $\theta$ debe ser pequeño $$sin\theta \approx \theta ,$$pero $\theta =\frac{dl}{2R}$, en conclusión$$T_{\perp }=T\frac{dl}{R}\mathrm{.}$$Por otro lado, si nos situamos en el sistema de referencia que viaja con la perturbación, veremos a la cuerda viajar hacia la izquierda y al trozo de cuerda que corresponde a la perturbación siguiendo algo parecido a un movimiento circular uniforme. En un movimiento circular uniforme la fuerza perpendicular a la trayectoria es la fuerza centrípeta $F_c=m\frac{v^2}{R}$, para la diferencial de cuerda en cuestión $$F_c=\frac{v^2}{R}dm=\frac{v^2}{R}\mu dl,$$donde $\mu$ es la densidad lineal de la cuerda, la masa por unidad de longitud. Si la tensión es la fuerza que genera a la fuerza centrípeta$$T\frac{dl}{R}=\frac{v^2}{R}\mu dl,$$por lo que la rapidez de propagación en la cuerda es$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}\mathrm{.}$$La anterior es la velocidad de propagación de la perturbación que viaja a lo largo de la cuerda, sin embargo, un pequeño elemento de cuerda sólo experimentará un movimiento transversal a ella. Sí consideramos una onda sinusoidal, la posición de ese elemento de cuerda es$$y\left(x,t\right)=Asin\left(kx-\omega t+\delta \right),$$y su velocidad sería la derivada parcial de esa posición respecto del tiempo$$v_y\left(x,t\right)=-A\omega cos\left(kx-\omega t+\delta \right)\mathrm{.}$$Para hallar la aceleración debemos volver a derivar$$a_y\left(x,t\right)=-A{\omega }^{2}sin\left(kx-\omega t+\delta \right)=-{\omega }^{2}y,$$notamos aquí que tenemos una ecuación diferencial del tipo $\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=-{\omega }^{2}y$, que corresponde con la de un oscilador armónico en la dirección transversal, esto nos dice que cada elemnto de cuerda sigue un movimiento oscilatorio.

6.3.1 Ejemplos de ondas en cuerdas

Movimiento propagatorio

Desde el extremo de una cuerda horizontal larga se genera una onda sinusoidal transversal, moviéndo el extremo de la cuerda de arriba a abajo. Dicho movimiento abarca una distancia vertical máxima de 1.30 cm. El movimiento es continuo y se repite regularmente 125 veces por segundo. (a) Si la cuerda tiene una densidad lineal de $\mu =$ 0.251 kg/m y se mantiene sometida a una tensión de 96 N, halle la amplitud, la frecuencia, la rapidez de propagación y la longitud de onda. (b) Suponiendo que la onda viaja en dirección postiva del eje $x$, que en $t=0$ el elemento de la cuerda que está en $x=0$ esté en su posición de equilibrio $y=0$ y moviéndose hacia abajo, halle la función $y\left(x,t\right)$ de la onda.

(a) La amplitud será la mitad del desplazamiento máximo vertical de la cuerda, es decir $A=0.65$ cm, la frecuencia es $\nu =125$ Hz, la rapidez de propagación de una onda en una cuerda tensa es $v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}=19.6$ m/s y la longitud de onda es $\lambda =0.157$ m. (b) La función $y\left(x,t\right)$ de la onda es$$y\left(x,t\right)=Asin\left(kx-\omega t+\delta \right),$$donde $A=0.65$ cm, $k=\frac{\omega }{v}=\frac{2\pi \nu }{v}=40.1$ rad/m, $\omega =2\pi \nu =785$ rad/s y $\delta =0$.

Movimiento transversal

Cuando la onda del ejemplo anterior viaja a lo largo de la cuerda, cada partícula de la cuerda se mueve hacia arriba y hacia abajo, con movimiento oscilatorio en dirección perpendicular a la propagación. (a) Halle las expresiones para la velocidad y la aceleración, como función del tiempo, de una partícula $P$ situada en $x_P=0.245$ m. (b) Calcule el desplazamiento transversal, la velocidad y la aceleración de esta partícula en $t=1.5$ s.

(a) La posición de la partícula $P$ como función del tiempo es$$y_P\left(x,t\right)=Asin\left(C-\omega t\right),$$donde $C=9.82$ rad, la velocidad es$$v_P\left(x,t\right)=-A\omega cos\left(C-\omega t\right)$$y la aceleración$$a_P\left(x,t\right)=-A{\omega }^{2}sin\left(C-\omega t\right)\mathrm{.}$$

(b) Con las expresiones anteriores se puede substituir el tiempo $t=1.5$ s y se obtiene$$y_P\left(x,t\right)=0.00544 m,$$$$v_P\left(x,t\right)=-2.79 m/s$$y$$a_P\left(x,t\right)=-3354{ m/s}^2\mathrm{.}$$